2019-2023高考数学真题分类汇编17 数列递推及求和...

更新时间：2023-09-05 浏览次数：38 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2025·) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2025·) 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…，依此类推，其中 $\text{[math]}$ ．则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2019·浙江) 设a，b∈R ，数列{a_n}，满足a₁ =a，a_n+1= a_n²+b，b∈N^* ，则（）

A . 当b= $\text{[math]}$ 时，a₁₀>10 B . 当b= $\text{[math]}$ 时，a₁₀>10 C . 当b=-2时，a₁₀>10 D . 当b=-4时，a₁₀>10

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4. (2019·浙江) 已知数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ (n∈N)，若2≤a₁₀≤3，则a₁的取值范围是（）

A . 1≤a₁≤10 B . 1≤a₁≤17 C . 2≤a₁≤3 D . 2≤a₁≤6

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二、填空题

5. (2020·浙江) 已知数列{a_n}满足a_n＝ $\text{[math]}$ ，则S₃＝．

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6. (2020·新课标Ⅰ·文) 数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，前16项和为540，则 $\text{[math]}$ .

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7. (2022·北京) 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，其前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 给出下列四个结论：
① $\text{[math]}$ 的第2项小于3； ② $\text{[math]}$ 为等比数列；

③ $\text{[math]}$ 为递减数列； ④ $\text{[math]}$ 中存在小于 $\text{[math]}$ 的项。

其中所有正确结论的序号是．

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8. (2021·新高考Ⅰ) 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸.对折1次共可以得到10dm×2dm、20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和 S₁ =240 dm² ，对折2次共可以得5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和 S₂=180dm²。以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么 $\text{[math]}$ =dm.

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三、解答题

9. (2023·全国甲卷) 已知数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 前n项和， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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10. (2022·北京) 已知 $\text{[math]}$ 为有穷整数数列．给定正整数 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 连续可表数列．
（Ⅰ）判断 $\text{[math]}$ 是否为5-连续可表数列？是否为 $\text{[math]}$ 连续可表数列？说明理由；

（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 连续可表数列，求证： $\text{[math]}$ 的最小值为4；

（Ⅲ）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 连续可表数列， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．

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11. (2020·新课标Ⅲ·理) 设数列{a_n}满足a₁=3， $\text{[math]}$ ．
1. （1）计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
2. （2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．
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12. (2021·北京) 设p为实数．若无穷数列{a_n}满足如下三个性质，则称{a_n}为R_P数列：
：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ （m=1，2，…；n=1，2，…）．
1. （1）如果数列{a_n}的前4项2，-2，-2，-1的数列，那么{a_n}是否可以为 $\text{[math]}$ 数列？说明理由；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 数列，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）设数列{a_n}的前n项和为S_n ，是否存在 $\text{[math]}$ 数列 $\text{[math]}$ ，对 $\text{[math]}$ 恒成立？若存在，求出所有这样的p；若不存在，说明理由．
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13. (2024高三上·昌平开学考) 已知 $\text{[math]}$ 是无穷数列．给出两个性质：
①对于 $\text{[math]}$ 中任意两项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在一项 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；

②对于 $\text{[math]}$ 中任意项 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 中都存在两项 $\text{[math]}$ ．使得 $\text{[math]}$ ．

(Ⅰ)若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若 $\text{[math]}$ ，判断数列 $\text{[math]}$ 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若 $\text{[math]}$ 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明： $\text{[math]}$ 为等比数列.

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14. (2019·北京) 已知数列{a_n}，从中选取第i₁项、第i₂项…第i_m项（i₁<i₂<…<i_m）.若a_i1<a_i2<…<a_im.则称新数列a_i1 ， a_i2 ， …，a_im.为{a_n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a_n}的任意一项都是{a_n}的长度为1的递增子列.
（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；
（II）已知数列{a_n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a_m0 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为a_n0 ，若p<q，求证：a_m0<a_n0；
（III）设无穷数列{a_n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{a_n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2^s-1个（s=1.2.…），求数列{a_n}的通项公式。

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