2024年北师大版数学七年级下册单元清测试（第五章）培优卷

更新时间：2024-02-01 浏览次数：70 类型：单元试卷

一、选择题

1. (2023·长沙) 下列图形中，是轴对称图形的是（　　）

A . B . C . D .

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2. (2023·平阴模拟) 如图所示，在 $\text{[math]}$ 中，按下列步骤作图：
第一步：在 $\text{[math]}$ 上分别截取 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ；
第二步：分别以点D和点E为圆心、适当长（大于 $\text{[math]}$ 的一半）为半径作圆弧，两弧交于点F；
第三步：作射线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M；
第四步：过点M作 $\text{[math]}$ 于点N．
下列结论一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021八上·诸暨期末) 如图，△ABC≌△EDC，BC⊥CD，点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝25°，则∠ADC的度数是（）

A . 45° B . 60° C . 75° D . 70°

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4. (2024八下·榆树开学考) 如图，在△ABC中，AC = 10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）

A . 4 B . 6 C . 8 D . 10

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5. (2023八上·长沙月考) 如图，有A、B、C三个居民点，现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗，要求接种点到三个居民点的距离相等，接种点应建在（）

A . $\text{[math]}$ 的三条中线的交点处 B . $\text{[math]}$ 三边的垂直平分线的交点处 C . $\text{[math]}$ 三条角平分线的交点处 D . $\text{[math]}$ 三条高所在直线的交点处

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6. (2023八上·东安月考) 等腰三角形的一个角是50°，则它顶角的度数是（）

A . 80°或50° B . 80° C . 80°或65° D . 65°

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7. (2023八上·怀仁期中) 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，BB′交MN于点O，则下列结论不一定正确的是（）

A . AC＝A′C′ B . BO＝B′O C . AA′⊥MN D . AB $\text{[math]}$ B′C′

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8. (2023八上·衡阳月考)
如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（　　）

A . 48° B . 36° C . 30° D . 24°

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9. (2023八上·昆明期中) 如图， $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， AD平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足分别是E、F，则下列四个结论中：①AD上任意一点到B、C的距离相等；②AD任意一点到AB、AC的距离相等；③ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的是（）

A . ①④ B . ②④ C . ②③④ D . ①②③④

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10. (2023八上·安宁期中) 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于 $\text{[math]}$ DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若BG＝1，AC＝4，则△ACG的面积是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2023·长沙) 如图，已知 $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上，以点B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径画弧，交 $\text{[math]}$ 于点E，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数是度．

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12. (2023·广元) 如图， $\text{[math]}$ ，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于 $\text{[math]}$ 的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线 $\text{[math]}$ ，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为．

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13. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B=∠ADB．若AB=4，则DC的长是。

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14. (2022·青海) 如图，在Rt $\text{[math]}$ ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为°．

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15. (2024八上·赤壁期末) 如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E ， F分别是BC ， DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为．

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16. (2023八上·蚌山月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的垂直平分线，若点D在直线 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 周长的最小值为．

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三、解答题

17. (2021七上·新泰期中) 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位的正方形，已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点在格点上．
1. （1）画出 $\text{[math]}$ ，使它与 $\text{[math]}$ 关于直线a对称；
2. （2）求出 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3）在直线a上画出点P，使 $\text{[math]}$ 最小
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18. 已知：如图，AD平分∠CAB，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC的延长线于点N，且∠NCD=∠B．求证：CN=BM．

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19. (2023八上·奉贤期中) 如图，点D是线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ，点P是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，射线 $\text{[math]}$ 交边 $\text{[math]}$ 于点E ， $\text{[math]}$ 于点H ，过B作 $\text{[math]}$ 于点F ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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20. (2023八上·武鸣期中) 已知：如图，D为△ABC外角∠ACP平分线上一点，且DA＝DB，DM⊥BP于点M.
1. （1）若AC＝6，DM＝2，求△ACD的面积；
2. （2）求证：AC＝BM+CM．
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21. (2023八上·英吉沙期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，P为BC的中点，D，E分别为AB，AC上的点，且∠BDP=∠CEP．
1. （1）求证：△BDP≌△CEP ．
2. （2）若PD⊥AB ， ∠A＝110°，求∠EPC的度数．
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22. (2023八上·开福开学考) 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
1. （1）求证：BE=CF；
2. （2）如果AB=8，AC=6，求AE、BE的长．
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23. (2023八上·临桂期中) 数学模型学习与应用：
白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣
模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，从而解决距离和最短的一类问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P ，使PA+PB的值最小．
作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B ， A'B与直线l的交点即为点P ．此时PA+PB的值最小．
1. （1）模型应用：
  如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH＝8cm ， P为AH上一动点，D为AB的中点．
  ①当PD+PB的最小值时，在图中确定点P的位置（要有必要的画图痕迹，不用写画法）．
  ②则PD+PB的最小值为 ▲ cm ．
2. （2）模型变式：
  如图3所示，某地有块三角形空地AOB ，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR ， 点Q、R分别是OA ， OB边上的任意一点（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值.
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24. 综合与实践
1. （1）问题探究：如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”即：作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上分别取点C和D，使得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作等边三角形 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 就是 $\text{[math]}$ 的平分线．
  
  请写出 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的依据：；
2. （2）类比迁移：
  小明根据以上信息研究发现： $\text{[math]}$ 不一定必须是等边三角形，只需 $\text{[math]}$ 即可．他查阅资料：我国古代已经用角尺平分任意角．做法如下：如图3，在 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上分别取 $\text{[math]}$ ，移动角尺，使角尺两边相同刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，请说明此做法的理由；
3. （3）拓展实践：
  
  小明将研究应用于实践．如图4，校园的两条小路 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，汇聚形成了一个岔路口A，现在学校要在两条小路之间安装一盏路灯E，使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距离和休息椅D到岔路口A的距离相等．试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应的示意图5中作出路灯E的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
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