广东省中山市2024届高三上学期1月第一次调研数学试卷

更新时间：2024-04-22 浏览次数：15 类型：期末考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三上·中山月考) 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三上·中山月考) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位），则复数z的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三上·中山月考) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三上·中山月考) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值等（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三上·中山月考) 已知等差数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前n项和分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高三上·中山月考) 某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间t（单位：年）之间的关系为 $\text{[math]}$ .其中 $\text{[math]}$ 为初始量，k为降解系数.已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的 $\text{[math]}$ .若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的 $\text{[math]}$ ，则n的值约为（）（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 20 B . 16 C . 12 D . 7

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7. (2024高三上·中山月考) 已知在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点P ， Q ， T分别在棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记平面 $\text{[math]}$ 与侧面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 的交线分别为m ， n ，则（）

A . m的长度为 $\text{[math]}$ B . m的长度为 $\text{[math]}$ C . n的长度为 $\text{[math]}$ D . n的长度为 $\text{[math]}$

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8. (2024高三上·中山月考) 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，且位于第一象限，点M到抛物线C的焦点F的距离为4，过点 $\text{[math]}$ 向抛物线C作两条切线，切点分别为A ， B ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 16 D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，得部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2024高三上·中山月考) 已知事件A ， B是相互独立事件，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三上·中山月考) 函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，将其向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度，得到 $\text{[math]}$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象上存在点P ，使得在P点处的切线与直线 $\text{[math]}$ 垂直 C . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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11. (2024高三上·中山月考) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的上、下焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l与C的上支交于M ， N两点（点M在第一象限），A为线段 $\text{[math]}$ 的中点，O为坐标原点.若C的离心率为2，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 可以是直角 D . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$

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12. (2024高二下·西湖月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 及其导函数 $\text{[math]}$ 的定义域均为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是奇函数， $\text{[math]}$ ，且对任意 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2024高三上·中山月考) $\text{[math]}$ 中常数项是.（写出数字）

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14. (2024高三上·中山月考) 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则在数列 $\text{[math]}$ 的前50项中最大项是第项.

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15. (2024高三上·中山月考) 设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的公共焦点，曲线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在第一象限内交于点M ， $\text{[math]}$ ，若椭圆的离心率 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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16. (2024高二下·浙江开学考) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 外接球表面积的最小值为.

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (2024高三上·中山月考) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和.
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18. (2024高三上·中山月考) 已知 $\text{[math]}$ 的内角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ，且满足 $\text{[math]}$ .
（I）求C的值；
（II）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.

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19. (2024高三上·中山月考) 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 的边长为1，P为棱 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 的中点，求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，设二面角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平面角分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最值及取到最值时点P的位置.
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20. (2024高三下·广西壮族自治区模拟) 网球运动是一项激烈且耗时的运动，对于力量的消耗是很大的，这就需要网球运动员提高自己的耐力.耐力训练分为无氧和有氧两种训练方式.某网球俱乐部的运动员在某赛事前展开了一轮为期90天的封闭集训，在封闭集训期间每名运动员每天选择一种方式进行耐力训练.由训练计划知，在封闭集训期间，若运动员第 $\text{[math]}$ 天进行有氧训练，则第 $\text{[math]}$ 天进行有氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 天进行无氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ；若运动员第n天进行无氧训练，则第 $\text{[math]}$ 天进行有氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 天进行无氧训练的概率为 $\text{[math]}$ .若运动员封闭集训的第1天进行有氧训练与无氧训练的概率相等.
1. （1）封闭集训期间，记3名运动员中第2天进行有氧训练的人数为X ，求X的分布列与数学期望；
2. （2）封闭集训期间，记某运动员第n天进行有氧训练的概率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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21. (2024高三上·中山月考) 已知椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆上.其左右顶点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，左右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2）直线l过x轴上的定点E（E点不与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合），且交椭圆C于P、Q两点（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），当满足 $\text{[math]}$ 时，求E点的坐标.
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22. (2024高三上·中山月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 极值点的个数；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数的情况.
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