2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破11 因式分解的应...

更新时间：2024-04-14 浏览次数：62 类型：复习试卷

一、选择题

1. 已知长为 a、宽为b的长方形，它的周长为10，面积为5，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 25 B . 50 C . 75 D . 100

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2. 利用因式分解计算 $\text{[math]}$ 的结果是（）

A . 2023 B . -2023 C . 2024 D . -2024

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3. 下列自然数中，能整除 3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸的是（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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4. 已知a≠c，若 $\text{[math]}$ 则M与N的大小关系是（）

A . M>N B . M=N C . M<N D . M≥N

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5. 若 $\text{[math]}$ 2021m，则m的值为（）

A . 2023 B . 2024 C . 2025 D . 2026

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6. 设n为整数，则 $\text{[math]}$ 一定能被（）

A . 3 整除 B . 4整除 C . 6 整除 D . 8整除

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7. 已知长方形的边长分别为 a，b，周长为 14，面积为10，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 35 B . 70 C . 140 D . 280

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8. 已知2x-y=1，xy=2，则4x³y-4x²y²+xy³的值为（）

A . -2 B . 1 C . -1 D . 2

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9. (2023七下·上虞期末) 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 $\text{[math]}$ 因式分解的结果是 $\text{[math]}$ ，当取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，各个因式的值是： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．类似地，对于多项式 $\text{[math]}$ ，当取 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，用上述方法可以产生一个六位数密码．则这个密码可以是（）

A . 102030 B . 103020 C . 101030 D . 102010

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10. 设 n是任意正整数，代入式子 n³-n中计算时，四名同学算出以下四个结果，其中正确的结果可能是（）

A . 388 947 B . 388 944 C . 388 953 D . 388 949

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二、填空题

11. 用简便方法计算；
1. （1） 999²-1= .
2. （2） 2011²-2 011×22+121= .
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12. 有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x⁴-y⁴因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x²+y²)，当取x=4，y=4时，各个因式的值是：x-y=0，x+y=8x²+y²=32，于是就可以把“0832”作为一个密码，我们把上述密码中的“0”、“8”、“32”分别叫做这串密码的第一位因式码、第二位因式码、第三位因式码．类似地，对于多项式xy+xy⁴因式分解的结果是xy(x+y)(x²-xy+y²)，当它的第一位因式码xy和第二位因式码(x+y)构成的数是“127”时，它的第三位因式码(x²-xy+y²)是.

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13. (2022七下·柯桥期中) 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数.如， $\text{[math]}$ ，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数.则2019的智慧分解数有.

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14. 如图，现有边长为 $\text{[math]}$ 的正方形1个，边长为 $\text{[math]}$ 的正方形3个，边长为 $\text{[math]}$ 的长方形4个，把它们拼成一个大长方形，请利用这个拼图中图形的面积关系分解因式： $\text{[math]}$ .

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15. (2020七下·上城期末) 如果两个多项式有公因式，则称这两个多项式为关联多项式，若x²﹣25与（x＋b）²为关联多项式，则b＝；若（x＋1）（x＋2）与A为关联多项式，且A为一次多项式，当A＋x²﹣6x＋2不含常数项时，则A为.

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三、解答题

16. 已知n是正整数，则奇数可以用代数式2n+1来表示．
1. （1）分解因式：(2n+1)²-1．
2. （2）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由．
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17. 把偶数按从小到大的顺序排列，相邻的两个偶数的平方差(较大的减去较小的)一定是4的倍数吗?为什么?

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18. 如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积.

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19. 用简便方法计算：2007+2007²-2007×2008．

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20. 利用因式分解说明3²⁰⁰-4×3¹⁹⁹+10×3¹⁹⁸能被7整除．

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21. 若x²-5x+6能分解成两个因式的乘积，且一个因式为x-2，另一个因式为mx-n，其中m， n为两个未知的常数，请你求出m，n的值。

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22. 许多正整数都能表示为两个连续奇数的平方差，例如： $\text{[math]}$
1. （1） 42能表示成两个连续奇数的平方差吗?2024呢?
2. （2）设2n-1和2n+1是两个连续奇数(其中n取正整数)，如果数a能表示成2n+1和2n-1的平方差，那么a是8的倍数吗?为什么?
3. （3）如图所示，拼叠的正方形边长分别是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积.
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23. (2022七下·杭州期中) 化简求值：
小明在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行计算，求解过程如图1所示，34的平方中，首数字3的平方对应09，尾数字4的平方对应16，….
1. （1）仿照图1，用“列竖式”的方法计算一个两位数的平方，部分过程如图2所示，求这个两位数；
2. （2） $\text{[math]}$ 是一个两位数的平方，用“列竖式”方法进行计算的部分过程如图3所示，求m，n的值.
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四、实践探究题

24. 【发现】
任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
【验证】
1. （1） $\text{[math]}$ 的结果是5的几倍?
2. （2）设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明结果是5的倍数.
3. （3）【延伸】
  任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几?请说明理由.
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25. 阅读材料：
整体代换是一个重要的数学思想，有着广泛的应用.例如：计算4(a+b)-7(a+b)+(a+b)时可将(a+b)看成一个整体，合并同类项得-2(a+b)，再利用分配律去括号得-2a-2b.同时，我们也知道，代数的基本要义就是用字母表示数，使之更具一般性.所以，在计算a(a+b)时，同样可以利用分配律得 $\text{[math]}$
解决问题：
1. （1）请你尝试着把(a-2)或(b-2)看成整体，计算：(a-2)(b-2).
2. （2）如果两个数的乘积等于它们的和的两倍，那么我们称这两个数为“积倍和数对”，即：若ab=2(a+b)，则a，b是一对“积倍和数对”，记为(a，b).例如：∵3×6=2(3+6)，∴3和6是一对“积倍和数对”，记为(3，6).
  请你找出所有的a，b均为整数的“积倍和数对”
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26. 在当今的“互联网+”时代，有一种利用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式分解因式，如将多项式 $\text{[math]}$ 分解为(x -1)(x+1)(x+2).当x=19时，x-1=18，x+1=20，x+2=21，此时可得到数字密码 182021.
1. （1）根据上述方法，当x=37，y=12时，对于多项式 $\text{[math]}$ 分解因式后可以形成哪些数字密码(写出两个即可)?
2. （2）将多项式. $\text{[math]}$ 分解因式后，利用上述方法，当x=87时，可以得到数字密码 808890，求 m，n的值.
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27. 教科书中这样写道：“我们把多项式a²+2ab+b²及a²-2ab+b²叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等．
例如，分解因式：x²+2x-3=(x²+2x+1)-4=(x+1)²-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)；求代数式2x²+4x-6的最小值：2x²+4x-6=2(x²+2x-3)=2(x+1)²-8，可知当x=-1时，2x²+4x-6有最小值，最小值是-8．根据阅读材料，用配方法解决下列，问题：
1. （1）分解因式：m²-4m-5=.
2. （2）当a，b为何值时，多项式a²+b²-4a+6b+18有最小值，并求出这个最小值．
3. （3）当a，b为何值时，多项式a²-2ab+2b²-2a-4b+27有最小值，并求出这个最小值．
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28. (2023七下·金东期末) 【发现问题】数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们更容易理解数学问题．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．

例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式 $\text{[math]}$ ，这种把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
1. （1）【小试牛刀】
  请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）．
2. （2）【自主探索】
  请利用图1的卡片，将多项式 $\text{[math]}$ 因式分解，并画出图形．
3. （3）【拓展迁移】
  事实上，拼图不仅限于平面图形，利用立体图形的体积也可以将一些多项式因式分解．请你用此方法从体积角度简要说明如何把 $\text{[math]}$ 进行因式分解并写出因式分解结果．
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29. (2023七下·慈溪期末) [阅读材料]分解因式： $\text{[math]}$
解：把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，发现此多项式的值为0，由此确定 $\text{[math]}$ 中有因式 $\text{[math]}$ ，可设 $\text{[math]}$ 为常数)，通过展开多项式或代入合适的 $\text{[math]}$ 的值即可求出 $\text{[math]}$ 的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.
根据以上阅读材料，完成下列问题：
1. （1）请完成下列因式分解：
  $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
2. （2）请你用“试根法”分解因式： $\text{[math]}$ ；
3. （3） ①若多项式 $\text{[math]}$ 为常数)分解因式后，有一个因式是 $\text{[math]}$ ，求代数式 $\text{[math]}$ 的值；
  ②若多项式 $\text{[math]}$ 含有因式 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求mn的值.
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30. (2022七下·诸暨期中) 先阅读材料，再回答问题：
分解因式： $\text{[math]}$
解：设 $\text{[math]}$ ，则原式 $\text{[math]}$
再将 $\text{[math]}$ 还原，得到：原式 $\text{[math]}$
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解决下列问题：
1. （1）分解因式： $\text{[math]}$
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为正整数，则 $\text{[math]}$ 为整数的平方，试说明理由.
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31. (2022七下·义乌期中) 先阅读下列材料，然后解决后面的问题.
材料：一个三位数 $\text{[math]}$ （百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数 $\text{[math]}$ 为“协和数”，同时规定c= $\text{[math]}$ （k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8.
1. （1）判断132，123，321这三个数中，是“协和数”.
2. （2）对于“协和数” $\text{[math]}$ ，求证：“协和数” $\text{[math]}$ 能被11整除.
3. （3）已知有两个十位数相同的“协和数” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ＞ $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，用含b的式子表示y.
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