广东省揭阳市2024届高三下学期4月二模考试数学

更新时间：2024-05-14 浏览次数：62 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024·南宁模拟) 已知复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·揭阳模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上不单调，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024高三下·揭阳模拟) 已知椭圆的长轴长是短轴长的 $\text{[math]}$ 倍，则该椭圆的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·揭阳模拟) 把函数 $\text{[math]}$ 的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个最小正周期后，所得图象对应的函数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024高三下·揭阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两条不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. (2024·南宁模拟) 如果方程 $\text{[math]}$ 能确定 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的求导方法如下：在方程 $\text{[math]}$ 中，把 $\text{[math]}$ 看成 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ ，则方程可看成关于 $\text{[math]}$ 的恒等式 $\text{[math]}$ ，在等式两边同时对 $\text{[math]}$ 求导，然后解出 $\text{[math]}$ 即可.例如，求由方程 $\text{[math]}$ 所确定的隐函数的导数 $\text{[math]}$ ，将方程 $\text{[math]}$ 的两边同时对 $\text{[math]}$ 求导，则 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）.那么曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024·南宁模拟) 如图，正四棱台容器 $\text{[math]}$ 的高为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，容器中水的高度为 $\text{[math]}$ .现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水位上升了 $\text{[math]}$ ，若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024高三下·揭阳模拟) 在研究变量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的关系时，进行实验后得到了一组样本数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用此样本数据求得的经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，现发现数据 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 8 B . 12 C . 16 D . 20

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·揭阳模拟) 若表示集合 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 关系的Venn图如图所示，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 可能是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·广西壮族自治区月考) 已知 $\text{[math]}$ 内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的重心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的面积的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·揭阳模拟) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 B . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称 C . 函数 $\text{[math]}$ 的周期为2 D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. (2024高三下·揭阳模拟) 智慧农机是指配备先进的信息技术，传感器、自动化和机器学习等技术，对农业机械进行数字化和智能化改造的农业装备，例如：自动育秧机和自动插秧机.正值春耕备耕时节，某智慧农场计划新购2台自动育秧机和3台自动插秧机，现有6台不同的自动育秧机和5台不同的自动插秧机可供选择，则共有种不同的选择方案.

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13. (2024高三下·揭阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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14. (2024高三下·揭阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右焦点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的左支上一点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 角平分线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15. (2024高三下·广西壮族自治区月考) 在等差数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且等差数列 $\text{[math]}$ 的公差为4.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ .
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16. (2024高三下·广西壮族自治区月考) 为提升基层综合文化服务中心服务效能，广泛开展群众性文化活动，某村干部在本村的村民中进行问卷调查，将他们的成绩（满分：100分）分成7组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .整理得到如下频率分布直方图.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值并估计该村村民成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
2. （2）从成绩在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 内的村民中用分层抽样的方法选取6人，再从这6人中任选3人，记这3人中成绩在 $\text{[math]}$ 内的村民人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列与期望.
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17. (2024高三下·揭阳模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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18. (2024高三下·揭阳模拟) 设抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的焦点为 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 到圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上一点的距离的最大值为6.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的方程.
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是坐标原点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上异于点 $\text{[math]}$ 的两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别相交于， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 两点（异于点 $\text{[math]}$ ），且 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，试判断直线 $\text{[math]}$ 是否经过定点.若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由.
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19. (2024高二下·自贡月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ 是增函数.
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
3. （3）证明： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）.
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