江西省宜春市第一中学2024届高三下学期第三次模拟考试数学试...

更新时间：2024-06-28 浏览次数：20 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. (2024高三下·宜春模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . （1，2] B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高三下·宜春模拟) 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，则z的虚部是（）

A . -25 B . -5 C . 1 D . 5

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3. (2024高三下·宜春模拟) 下列说法不正确的是（）

A . 一组数据1，4，14，6，13，10，17，19的25％分位数为5 B . 一组数据 $\text{[math]}$ ， 3，2，5，7的中位数为3，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，则方差 $\text{[math]}$ D . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. (2024高三下·宜春模拟) 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 10 B . 12 C . 14 D . 16

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5. (2024高三下·宜春模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是空间中两条不同的直线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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6. (2024高三下·宜春模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，则a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三下·宜春模拟) 已知抛物线C： $\text{[math]}$ 的焦点为F ，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A ， B两点，以线段OA ， OB为邻边作平行四边形OAPB ，若点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），则当 $\text{[math]}$ 取最小值时， $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·荣县月考) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. (2024高三下·宜春模拟) 同时抛出两枚质地均匀的骰子甲、乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件B：乙骰子点数为偶数，事件C：甲、乙骰子点数相同．下列说法正确的有（）

A . 事件A与事件B对立 B . 事件A与事件B相互独立 C . 事件A与事件C相互独立 D . $\text{[math]}$

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10. (2024高三下·宜春模拟) 古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：在平面内，已知两定点A ， B之间的距离为a（非零常数），动点M到A ， B的距离之比为常数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，点M满足 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 面积的最大值为12 B . $\text{[math]}$ 的最大值为72 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为10 D . 当点M不在x轴上时，MO始终平分 $\text{[math]}$

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11. (2024高三下·宜春模拟) 设椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，坐标原点为O ．若椭圆C上存在一点P ，使得 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的面积为2 D . $\text{[math]}$ 的内切圆半径为 $\text{[math]}$

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12. (2024高三下·宜春模拟) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，设P是棱 $\text{[math]}$ 的中点，Q是线段 $\text{[math]}$ 上的动点（含端点），M是正方形 $\text{[math]}$ 内（含边界）的动点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 存在满足条件的点M ，使 $\text{[math]}$ B . 当点Q在线段 $\text{[math]}$ 上移动时，必存在点M ，使 $\text{[math]}$ C . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积存在最大值和最小值 D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值的取值范围是 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. (2024高三下·宜春模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为非零向量，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为．

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14. (2024高三下·宜春模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. (2024高三下·宜春模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. (2024高三下·宜春模拟) 已知方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (2024高三下·宜春模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，设角A ， B ， C所对的边分别为a ， b ， c ．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为15，面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的外接圆面积；
2. （2）设D是边AB上一点，在①CD是边AB上的中线；②CD是 $\text{[math]}$ 的角平分线这两个条件中任选一个，求线段CD的长．
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18. (2024高二下·上饶月考) 在正项数列 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ．
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19. (2024高三下·宜春模拟) 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD为菱形，平面PAB $\text{[math]}$ 底面ABCD ， M为棱BC上异于点C的一点，O为棱AB的中点，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求证：M为BC的中点；
2. （2）若平面POM与平面PAC所成的锐二面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. (2024高三下·宜春模拟) 据教育部统计，2024届全国高校毕业生规模预计达1179万，同比增加21万，岗位竞争激烈．为落实国务院关于高校毕业生就业工作的决策部署，搭建高校毕业生和用人单位求职招聘的双向对接通道，促进高校毕业生高质量充分就业，某市人社局联合市内高校开展2024届高校毕业生就业服务活动系列招聘会．参加招聘会的小王打算依次去甲、乙、丙三家公司应聘．假设小王通过某公司的专业测试就能与该公司签约，享受对应的薪资待遇，且不去下一家公司应聘，或者放弃签约并参加下一家公司的应聘；若未通过测试，则不能签约，也不再选择下一家公司．已知甲、乙、丙三家公司提供的年薪分别为10万元、12万元、18万元，小王通过甲、乙、丙三家公司测试的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，通过甲公司的测试后选择签约的概率为 $\text{[math]}$ ，通过乙公司的测试后选择签约的概率为 $\text{[math]}$ ，通过丙公司的测试后一定签约．每次是否通过测试、是否签约均互不影响．
1. （1）求小王通过甲公司的测试但未与任何公司签约的概率；
2. （2）设小王获得年薪为 $\text{[math]}$ （单位：万元），求 $\text{[math]}$ 的分布列及其数学期望．
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21. (2024高三下·宜春模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 对 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数a的取值范围；
2. （2）若曲线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A ， B两点，且线段AB的中点为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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22. (2024高三下·宜春模拟) 已知以点M为圆心的动圆经过点 $\text{[math]}$ ，且与圆心为 $\text{[math]}$ 的圆 $\text{[math]}$ 相切，记点M的轨迹为曲线C ．
1. （1）求曲线C的方程；
2. （2）若动直线l与曲线C交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（其中 $\text{[math]}$ ），点A关于x轴对称的点为A' ，且直线BA'经过点 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）求证：直线l过定点；
  （ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，求直线l的方程．
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