2024-2025学年北师大版数学九（上）1.3正方形的性质...

更新时间：2024-07-09 浏览次数：12 类型：同步测试

一、选择题

1. (2024八下·重庆市期中) 如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（）

A . 135° B . 45° C . 22.5° D . 30°

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2. (2024八下·拜城期中) 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A . 对角线相等 B . 对角线互相平分 C . 对角线互相垂直 D . 对角线互相平分且相等

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3. (2024八下·桂林期中) 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（）

A . 两组对边分别平行且相等 B . 对角线相等 C . 四条边相等，四个角相等 D . 对角线互相垂直

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4. 如图，在边长为2的等边三角形ABC的外侧作正方形ABED，过点D作DF⊥BC，垂足为F，则DF的长为（　　）

A . 2 $\text{[math]}$ +2 B . 5- $\text{[math]}$ C . 3- $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ +1

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5. (2024八下·石嘴山期中) 下列说法正确的是（）

A . 菱形的四个内角都是直角 B . 矩形的对角线互相垂直 C . 正方形的每一条对角线平分一组对角 D . 平行四边形是轴对称图形

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6. (2024九上·威宁期末) 如图，将 $\text{[math]}$ 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 分别是正方形的中心，则这 $\text{[math]}$ 个正方形重叠部分的面积之和是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024九上·织金期末) 如图，边长为2的正方形ABCD的中心与坐标原点 $\text{[math]}$ 重合， $\text{[math]}$ 轴，将正方形ABCD绕原点 $\text{[math]}$ 顺时针旋2023次，每次旋转 $\text{[math]}$ ，则顶点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024九上·织金期末) 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于 $\text{[math]}$ ．则下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时，平行四边形ABCD为矩形 B . 当 $\text{[math]}$ 时，平行四边形ABCD为正方形 C . 当 $\text{[math]}$ 时，平行四边形ABCD为菱形 D . 当 $\text{[math]}$ 时，平行四边形ABCD为菱形

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二、填空题

9. (2024八下·临湘期中) 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．

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10. (2024八下·岳塘期中) 正方形 $\text{[math]}$ 和正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，那么 $\text{[math]}$ 的长是．

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11. (2024九上·渠县期末) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， O是 $\text{[math]}$ 边的中点，点E是正方形内一动点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将线段 $\text{[math]}$ 绕点D逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 长的最小值为．

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12. (2024九上·河西期末) 如图，已知正方形ABCD的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E ，点F为AB边的中点，连接EF ，则EF的长为．

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13. (2023八下·龙门期中)
如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE的面积为18，CE=4，则线段BE的长为．

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三、作图题

14. (2023九上·都昌期中) 如图，在正方形ABCD中， $\text{[math]}$ ，请仅用无刻度的直尺画图（保留画图痕迹，不写画法）.
图① 图②
1. （1）在图①中，画出AD的中点M；
2. （2）在图②中，画出CD的中点N.
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15. (2020九上·海安期中) 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，以点A为中心，把△ABE逆时针旋转90°，设点E的对应点为F.
1. （1）画出旋转后的三角形和点E经过的路径；
2. （2）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的长.
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四、解答题

16. (2024八下·惠城期中) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是正方形， $\text{[math]}$ 是等边三角形，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的度数．
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17. (2024九上·昭通期末) 正方形ABCD的边长为5，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM ．
1. （1）求证：△DEF≌△DMF；
2. （2）若AE＝2，求EF的长．
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五、实践探究题

18. (2024九上·防城期末) 【探究与证明】成语“以不变应万变”中蕴含着某种数学原理.
图1 图2
【动手操作】如图1， $\text{[math]}$ 是正方形 $\text{[math]}$ 的对角线，点E是 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点E和B作等腰直角 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与射线 $\text{[math]}$ 交于点P.
请完成：
1. （1）试判断图1中的 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系；
2. （2）当点P在线段 $\text{[math]}$ 上时，求证： $\text{[math]}$ .
3. （3）【类比操作】如图2，当点P在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时. $\text{[math]}$ 是否还成立?请判断并证明你的结论.
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六、综合题

19. (2024九上·万源期末) 矩形AOBC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的正半轴上，连接AB ，将△ABC沿AB折叠得△ABE ， AE交y轴于点D ，线段OD、OA的长是方程x²－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OD．
1. （1）请直接写出点A的坐标为，点D的坐标为；
2. （2）点P为直线AB上一点，连接PO、PD ，当△POD的周长最小时，求点P的坐标；
3. （3）点M在x轴上，点N在直线AB上，坐标平面内是否在点Q ，使以B、M、N、Q为顶点的四边形为正方形?若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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20. (2023九上·福州月考) 如图，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在正方形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，把 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边长．
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