2024年高考数学真题分类汇编六概率、统计与计数原理

更新时间：2024-08-13 浏览次数：16 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2024·上海) 已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是( )

A . 气候温度高，海水表层温度就高 B . 气候温度高，海水表层温度就低 C . 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D . 随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势

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2. (2024·天津) 下列图中，相关性系数最大的是（）

A . B . C . D .

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3. (2024·北京) $\text{[math]}$ 的二项展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为（）

A . 15 B . 6 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2024·新课标Ⅱ卷) 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理部分数据如下表所示：
亩产量
[900，950） [950，1000） [1000，1050） [1100，1150） [1150，1200）
频数
6
12
18
24
10
根据表中数据，下列结论中正确的是（）.

A . 100块稻田亩产量的中位数小于 $\text{[math]}$ B . 100块稻田中亩产量低于 $\text{[math]}$ 的稻田所占比例超过 $\text{[math]}$ C . 100块稻田亩产量的极差介于 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ 之间 D . 100块稻田亩产量的平均值介于 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$

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5. (2024·全国甲卷) 甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024·上海) 有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件A：所选盒中有中国结，事件B：所选盒中有记事本，事件C：所选盒中有笔袋，则（）

A . 事件A与事件B互斥 B . 事件A与事件B相互独立 C . 事件A与事件B∪C互斥 D . 事件A与事件B∩C相互独立

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二、多项选择题

7. (2024·新高考Ⅰ卷) 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\text{[math]}$ ＝2.1，样本方差s²＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N（1.8，0.1²），假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N（ $\text{[math]}$ ， s²），则（）（若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（Z＜μ+σ）≈0.8413）

A . P（X＞2）＞0.2 B . P（X＞2）＜0.5 C . P（Y＞2）＞0.5 D . P（Y＞2）＜0.8

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三、填空题

8. (2024·天津) 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，常数项为.

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9. (2024·上海) （x﹣1）⁶展开式中x⁴的系数为．

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10. (2024·全国甲卷) 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中，各项系数的最大值是．

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11. (2024·上海) 在 $\text{[math]}$ 的二项展开式中，若各项系数和为32，则 $\text{[math]}$ 项的系数为.

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12. (2024·天津) A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.(1)甲选到A的概率为；已知乙选了 $\text{[math]}$ 活动，他再选择 $\text{[math]}$ 活动的概率为.

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13. (2024·上海) 某校举办科学竞技比赛，有A、B、C3种题库，A题库有5000道题，B题库有4000道题，C题库有3000道题.小申已完成所有题，他A题库的正确率是0.92，B题库的正确率是0.86，C题库的正确率是0.72，现他从所有的题中随机选一题，正确率是.

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14. (2024·全国甲卷) 有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过 $\text{[math]}$ 的概率是．

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15. (2024·新高考Ⅰ卷) 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为．

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16. (2024·上海) 设集合A中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值.

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17. (2024·新课标Ⅱ卷) 在下图的 $\text{[math]}$ 方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是．

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18. (2024·上海) a₁＝2，a₂＝4，a₃＝8，a₄＝16，任意b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄∈R，满足{a_i+a_j|1≤i＜j≤4}＝{b_i+b_j|1≤i＜j≤4}，求有序数列{b₁ ， b₂ ， b₃ ， b₄}有对．

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四、解答题

19. (2024·上海) 水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
1. （1）随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
2. （2）进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
3. （3）抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
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20. (2024·上海) 为了解某地初中学生体育锻炼时长与学业成绩的关系，从该地区29000名学生中抽取580人，得到日均体育锻炼时长与学业成绩的数据如下表所示：
时间范围
学业成绩
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
优秀
5
44
42
3
1
不优秀
134
147
137
40
27
1. （1）该地区29000名学生中体育锻炼时长大于1小时人数约为多少？
2. （2）估计该地区初中学生日均体育锻炼的时长（精确到0.1）
3. （3）是否有 $\text{[math]}$ 的把握认为学业成绩优秀与日均体育锻炼时长不小于1小时且小于2小时有关？
  附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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21. (2024·北京) 已知某险种的保费为 $\text{[math]}$ 万元，前3次出险每次赔付 $\text{[math]}$ 万元，第4次赔付 $\text{[math]}$ 万元
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
在总体中抽样100单，以频率估计概率：
1. （1）求随机抽取一单，赔偿不少于2次的概率；
2. （2）（i）毛利润是保费与赔偿金额之差．设毛利润为 $\text{[math]}$ ，估计 $\text{[math]}$ 的数学期望；
  （ⅱ）若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降 $\text{[math]}$ ，已赔偿过的增加 $\text{[math]}$ ．估计保单下一保险期毛利润的数学期望．
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22. (2024·新课标Ⅱ卷) 某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.
某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为 $\text{[math]}$ ，各次投中与否相互独立．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
2. （2）假设 $\text{[math]}$ ．
  （ⅰ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
  （ⅱ）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段的比赛?
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23. (2024·全国甲卷) 某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
1. （1）填写如下列联表：
  
  优级品
  非优级品
  甲车间
  乙车间
  能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异？
2. （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设 $\text{[math]}$ 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 $\text{[math]}$ ＞p+1.65 $\text{[math]}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ $\text{[math]}$ ≈12.247）
  附： $\text{[math]}$ ，
  P（K²≥k）
  0.050
  0.010
  0.001
  k
  3.841
  6.635
  10.828
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24. (2024·全国甲卷) 某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品
合格品
不合格品
总计
甲车间
26
24
0
50
乙车间
70
28
2
100
总计
96
52
2
150
1. （1）填写如下列联表：
  
  优级品
  非优级品
  甲车间
  乙车间
  能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
2. （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设 $\text{[math]}$ 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果 $\text{[math]}$ ，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ $\text{[math]}$ ≈12.247）
  附： $\text{[math]}$ ，
  P（K²≥k）
  0.050
  0.010
  0.001
  k
  3.841
  6.635
  10.828
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25. (2024·新高考Ⅰ卷) 设m为正整数，数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a_i和a_j（i＜j）后剩余的4m项可被平均分为m组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a₁ ， a₂…，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列．
1. （1）写出所有的（i ， j），1≤i＜j≤6，使数列a₁ ， a₂ ， …，a₆是（i ， j）——可分数列；
2. （2）当m≥3时，证明：数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（2，13）——可分数列；
3. （3）从1，2，…，4m+2中一次任取两个数i和j（i＜j），记数列a₁ ， a₂ ， …，a₄_m₊₂是（i ， j）——可分数列的概率为P_m ，证明：P_m＞ $\text{[math]}$ ．
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