广东省九师联盟2024届高三上学期开学考试数学试题

更新时间：2024-08-30 浏览次数：15 类型：开学考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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4. 从2023年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学一个寝室6位同学 $\text{[math]}$ 慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求 $\text{[math]}$ 相邻， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左边，则不同的站法共有（）

A . 480种 B . 240种 C . 120种 D . 60种

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5. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有且仅有2个极值点，且在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 设 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ．对任意 $\text{[math]}$ 恒成立，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作线段 $\text{[math]}$ 的中垂线交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 两点分别作 $\text{[math]}$ 的准线的垂线，垂足分别为 $\text{[math]}$ ．线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 某市高三一模物理成绩 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 间的折线距离 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有最小值8 B . 若 $\text{[math]}$ ，则A点轨迹是一个正方形 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 有最大值15 D . 若 $\text{[math]}$ ，则点A的轨迹所构成区域的面积为 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为圆锥 $\text{[math]}$ 底面圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的一点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（异于端点），则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的最大值为 $\text{[math]}$ B . 圆锥 $\text{[math]}$ 内切球的体积为 $\text{[math]}$ C . 棱长为 $\text{[math]}$ 的正四面体可以放在圆锥 $\text{[math]}$ 内 D . 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点时，满足 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 有2个

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12. 已知 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ），若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 高台建筑流行于战国到西汉时期，当时重要宫殿台榭多采用此建筑形式．高台建筑以高大的夯土台为基础和核心，在夯土版筑的台上层层建屋，木构架紧密依附夯土台而形成土木混合的结构体系．如图是一个非常简易的高台建筑，塔下方是一个正四棱台形夯土台，已知该四棱台上底边长 $\text{[math]}$ ，下底边长 $\text{[math]}$ ，侧棱长 $\text{[math]}$ ，则此四棱台的体积为 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 为椭圆上不与顶点重合的任一点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的内心， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的斜率之比 $\text{[math]}$ ．（用 $\text{[math]}$ 表示）

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16. 若不等式xe^x－e^x ln x＞mx－e^x恒成立，则正整数m的最大值为．

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四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 记锐角 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若边 $\text{[math]}$ 上的高 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积取最小值时，求 $\text{[math]}$ 内切圆的面积．
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18. 已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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19. 自古以来，杭州就被称为“人间天堂”，无数文人墨客在此毫不吝啬地为之挥洒笔墨，留下千古诗篇名句，在宋代柳永的诗中这样描写到“东南形胜，三吴都会，钱塘自古繁华”，就连马可·波罗都称之为“世界上最美丽华贵之天城”．第19届亚运会将在被称为“人间天堂”的杭州举办，组委会计划采用志愿服务知识问答和技能考核的形式，从报名者中择优选取一部分成为正式的亚运会志愿者、
1. （1）已知报名者 $\text{[math]}$ 组人数之比为 $\text{[math]}$ ，将这3组报名者混在一起进行亚运会志愿服务知识问答，假设 $\text{[math]}$ 组中的每一个人答对某道题的概率分别为 $\text{[math]}$ ，从中任选一人，求此人答对该题的概率；
2. （2）从4名女性报名者和3名男性报名者中随机选出3名进行亚运会服务技能考核，记 $\text{[math]}$ 为其中女性的人数，求 $\text{[math]}$ 的数学期望．
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20. 如图1，直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，将直角梯形 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 旋转一周得到如图2的圆台， $\text{[math]}$ 为圆台的母线，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）在线段 $\text{[math]}$ 上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ？说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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21. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交另一条渐近线于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）如图，过 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 轴重合）与曲线 $\text{[math]}$ 的两支交于 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的另一个交点分别为 $\text{[math]}$ ，求证：直线 $\text{[math]}$ 经过定点．
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22. 已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有2个零点 $\text{[math]}$ ，
  ①求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  ②求证： $\text{[math]}$ ．
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