【培优版】浙教版数学九上4.1 比例线段同步练习

更新时间：2024-10-09 浏览次数：5 类型：同步测试

一、选择题

1. (2024九上·江阴月考) 在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（）

A . 12.36 cm B . 13.6 cm C . 32.36 cm D . 7.64 cm

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2. (2024九上·宜兴期中) 宽与长的比是 $\text{[math]}$ 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 $\text{[math]}$ 是黄金矩形. $\text{[math]}$ ，点P是边 $\text{[math]}$ 上一点，则满足 $\text{[math]}$ 的点P的个数为( )

A . 3 B . 2 C . 1 D . 0

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3. (2024·宜州模拟) 宽与长的比是 $\text{[math]}$ 的矩形叫黄金矩形．心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感．现在，按照如下的步骤作图（如图）：
第一步：作一个正方形ABCD；
第二步：分别取AD ， BC的中点M ， N ，连接MN；
第三步：以点N为圆心，ND长为半径画弧，交BC的延长线于点E；
第四步：过点E作 $\text{[math]}$ ，交AD的延长线于点F ．
则所作图形中是黄金矩形的为（）

A . 矩形MNCD B . 矩形DCEF C . 矩形MNEF D . 矩形DCEF和矩形ABEF

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4. (2024九下·龙港模拟) 新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形 $\text{[math]}$ 是黄金矩形（ $\text{[math]}$ ），点E、F分别在边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上，将矩形沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点B的对应点 $\text{[math]}$ 落在CD边上，点A的对应点为 $\text{[math]}$ ，过点E作 $\text{[math]}$ 于点G，当矩形 $\text{[math]}$ 也是黄金矩形（ $\text{[math]}$ ）时，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图 1 所示，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角 $\text{[math]}$ 与折射角 $\text{[math]}$ 的度数比为 $\text{[math]}$ ．如图 2 所示，在同一平面内，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为 $\text{[math]}$ ，在液体中两条折射光线的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 三者之间的数量关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024九下·深圳期中) 校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm ，那么AP的长度为（　　）cm ．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024九上·北京市期中) 如果2m＝3n（n≠0），那么下列比例式中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024·沙田模拟) 宽与长的比是 $\text{[math]}$ （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

A . 矩形ABFE B . 矩形EFCD C . 矩形EFGH D . 矩形DCGH

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二、填空题

9. (2023九上·金沙期中) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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10. (2023八上·大埔期中) 在平面直角坐标系中，关于 $\text{[math]}$ 的一次函数 $\text{[math]}$ ，其中常数k满足 $\text{[math]}$ ，常数b满足b＞0且b是2和8的比例中项，则该一次函数 $\text{[math]}$ 的解析式为．

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11. (2024·新都模拟) 如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE ，若 $\text{[math]}$ ，则称矩形ABCD为“黄金矩形”， $\text{[math]}$ 称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG ， GHFE ，若 $\text{[math]}$ ，则称矩形ABCD为“白银矩形”， $\text{[math]}$ 称为“白银比率”，则该比率为；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作 $\text{[math]}$ ，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是．

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12. (2024·山西) 黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边MN，PQ上，且 $\text{[math]}$ ， “晋”字的笔画“、”的位置在AB的黄金分割点 $\text{[math]}$ 处，且 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则BC的长为 $\text{[math]}$ （结果保留根号）。

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三、解答题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则一次函数 $\text{[math]}$ 与坐标轴围成的三角形的面积是多少?

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14. 如图甲所示，C将线段AB分成两部分，如果 $\text{[math]}$ ，那么称 $\text{[math]}$ 为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分测线”.现给出“黄金分割线”的定义：直线 $\text{[math]}$ 将一个面积为 $\text{[math]}$ 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ ，那么称直线 $\text{[math]}$ 为该图形的“黄金分割线”.请回答下列问题：
1. （1）研究小组猜想：在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 为AB边的黄金分割点(如图乙所示)，则直线CD是 $\text{[math]}$ 的“黄金分割线”.你认为这种猜想对吗?为什么?
2. （2）三角形的中线是否也是该三角形的“黄金分割线”?请说明理由.
3. （3）研究小组在进一步探究中发现：过点 $\text{[math]}$ 任作一条直线交AB于点 $\text{[math]}$ ，再过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ ，交AC于点 $\text{[math]}$ ，连结EF（如图丙所示），则直线EF也是 $\text{[math]}$ 的“黄金分割线”.请说明理由.
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四、阅读理解题

15. (2021八上·沙坪坝期末) 阅读理解：
已知：a，b，c，d都是不为0的数，且 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .

证明：∵ $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ .

∴ $\text{[math]}$ .

根据以上方法，解答下列问题：
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且a≠b，c≠d，证明 $\text{[math]}$ .
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五、综合题

16. (2024八下·六盘水期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 六个数，如果 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．
理由如下：
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 第一步 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ 第二步 $\text{[math]}$ ．
1. （1）解题过程中第一步应用了的基本性质；在第二步解题过程中， $\text{[math]}$ 应用了的基本性质；
2. （2）应用此解题过程中的思路和方法解决问题：
  $\text{[math]}$ 如果 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ _▲_；
  $\text{[math]}$ 已知 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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17. (2023八下·文成期中) 根据以下素材，探索完成任务．

素材1	定义：如图1，点 $\text{[math]}$ 将线段 $\text{[math]}$ 分成两部分，如果 $\text{[math]}$ ，那么点 $\text{[math]}$ 称为线段 $\text{[math]}$ 的黄金分割点．
素材2	某兴趣小组在进行研究性学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出黄金分割线的定义：直线 $\text{[math]}$ 将一个面积为 $\text{[math]}$ 的图形分成面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两部分，如果 $\text{[math]}$ ，那么直线 $\text{[math]}$ 称为该图形的黄金分割线．
素材3	平行四边形是中心对称图形：在同一平面内，一个三角形绕其中一边的中点旋转 $\text{[math]}$ ，其余两边与旋转后相对应的两边组成一个平行四边形，例如，图2中的 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 的中点旋转 $\text{[math]}$ 后与原三角形组成一个平行四边形 $\text{[math]}$ （如图3）．

	问题解决
任务1	问题1：如图3， $\text{[math]}$ 边上黄金分割点 $\text{[math]}$ 旋转后的对称点 $\text{[math]}$ 是否也是 $\text{[math]}$ 边上的黄金分割点？请写出你的判断结论，并说明理由．问题2：直线 $\text{[math]}$ 是不是四边形 $\text{[math]}$ 的黄金分割线？请写出你的判断结论：．
任务2	请在图3探索： $\text{[math]}$ 边上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 是四边形 $\text{[math]}$ 的黄金分割线？如果存在，请说明点 $\text{[math]}$ 的位置；如果不存在，请说明理由．
任务3	兴趣小组探索图2时猜想：在 $\text{[math]}$ 中，若点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的黄金分割点，连接 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的黄金分割线，你认为对吗？为什么？
任务4	兴趣小组探索图2时还发现：若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的黄金分割点，过点 $\text{[math]}$ 任意作一条直线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，再过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的黄金分割线，请你给出证明．