人教版数学九年级全册知识点训练营——圆幂定理模型

更新时间：2024-10-28 浏览次数：9 类型：复习试卷

一、切割线定理模型

1. (2024九上·长沙月考) 如图，已知直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的直径为20，则 $\text{[math]}$ 的长等于（　　）

A . 8 B . 12 C . 16 D . 18

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2. (2024九上·沙坪坝期末) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点C ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点D ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. (2024·长沙模拟) 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，水斗舀满河水，将水提升，水流源源不断，流入田地（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，接水槽 $\text{[math]}$ 所在的直线是圆O的切线，且与直线 $\text{[math]}$ 交于点M，P、O、C三点共线， $\text{[math]}$ 是圆O的直径时；
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长
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4. (2024九上·青山湖期末) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，A是 $\text{[math]}$ 延长线上的一点，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点C， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，且点E是 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的半径．
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二、相交弦定理模型

5. 如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD⊥AB于D，AD=9，BD=4，以C为圆心，CD为半径的圆与⊙O相交于P，Q两点，弦PQ交CD于E，则PE•EQ的值是（）

A . 24 B . 9 C . 6 D . 27

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6. (2021九上·余姚期中) 如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，若AP=6，BP=8，CP=4，则CD长为（）

A . 16 B . 24 C . 12 D . 不能确定

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7. (2021九上·东阳月考) 已知四边形ABCD两条对角线相交于点E，AB＝AC＝AD，AE＝3，EC＝1，则BE•DE的值为（）

A . 6 B . 7 C . 12 D . 16

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8. (2021·三亚模拟) 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB=2 $\text{[math]}$ ，连接OC，CD⊥OC交⊙O于点D.则CD的最大值为.

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9. 如图，已知⊙O中，弦AB与CD相交于点P．
求证：PA•PB=PC•PD．

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10. (2022·红河模拟) 如图， $\text{[math]}$ 内接于⊙ $\text{[math]}$ ， ⊙ $\text{[math]}$ 的直径AD与弦BC相交于点E，BE＝CE，过点D作 $\text{[math]}$ 交AC的延长线于点F．
1. （1）求证：DF是⊙ $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， AB＝6，求DF的长．
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11. (2022九下·下城开学考) 如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 $\text{[math]}$ 的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC、BC.
1. （1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
2. （2）若AD＝2，AC＝ $\text{[math]}$ ，求AB的长.
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12. (2019九上·甘井子期中) 阅读下面材料，完成（1）～（3）题.
数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，点D在AB上，且AD＝kAB（其中0＜k＜ $\text{[math]}$ ），直线CD绕点D顺时针旋转90°与直线CB绕点B逆时针旋转90°后相交于点E，探究线段DC、DE的数量关系，并证明.

同学们经过思考后，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现DC与DE相等”；

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到DC与DE相等”

小强：“通过进一步的推理计算，可以得到BE与BC的数量关系”

老师：“保留原题条件，连接CE交AB于点O.如果给出BO与DO的数量关系，那么可以求出CO•EO的值”
1. （1）在图1中将图补充完整，并证明DC＝DE；
2. （2）直接写出线段BE与BC的数量关系（用含k的代数式表示）；
3. （3）在图2中将图补充完整，若BO＝ $\text{[math]}$ DO，求CO•EO的值（用含a的代数式表示）.
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三、割线定理

13. 如图，A、B、C、D为⊙O上的点，直线BA与DC相交于点P，PA=2，PC=CD=3，则PB=（）

A . 6 B . 7 C . 8 D . 9

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14. (2019·葫芦岛模拟) 已知：如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是⊙ $\text{[math]}$ 的割线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ .

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15. (2022九上·杭州期中) 如图，延长弦 $\text{[math]}$ 、弦 $\text{[math]}$ ，交于圆外一点A，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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16. 如图，P为⊙O外的一点，过点P作⊙O的两条割线，分别交⊙O于A、B和C、D，且AB是⊙O的直径，已知PA=OA=4，AC=CD．
1. （1）求DC的长；
2. （2）求cosB的值．
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17. (2021·汝阳模拟) 我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离.当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线.割线也有一些相关的定理.比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等.下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整.

已知：如图①，过 $\text{[math]}$ 外一点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的两条割线，一条交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点，另一条交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 点.

求证： $\text{[math]}$ .

证明一：连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，

∵ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 所对的圆周角，∴_▲_.

又∵ $\text{[math]}$ ，∴_▲_，∴_▲_.

即 $\text{[math]}$ .

研究后发现，如图②，如果连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，即可得到学习过的圆内接四边形 $\text{[math]}$ .那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明.请根据提示，独立完成证明二.

证明二：连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，

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