二次函数的特殊三角形存在性问题—浙教版数学九（上）知识点训练-在线组卷

1. (2024·鹰潭模拟) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于A、B ．

（1） $\text{[math]}$ ＝；
（2）抛物线 $\text{[math]}$ 随其顶点沿直线 $\text{[math]}$ 向上平移，得到抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于C ， D （点C在点D左边），已知抛物线 $\text{[math]}$ 顶点M的横坐标为m ．
①当m＝6时，求抛物线 $\text{[math]}$ 的解析式及 $\text{[math]}$ 的值；
②连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为等边三角形时，求点M的坐标．

2. (2024九上·珠海期中) 已知抛物线与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接 $\text{[math]}$ ，求出 $\text{[math]}$ 的面积最大值及此时点P的坐标．
（3）如图2，将抛物线向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向下平移2个单位．记平移后的抛物线为 $\text{[math]}$ ，若抛物线 $\text{[math]}$ 与原抛物线对称轴交于点Q．点E是新抛物线 $\text{[math]}$ 对称轴上一动点，在（2）的条件下，当 $\text{[math]}$ 是等腰三角形时，求点E的坐标．

3. (2024九上·石林期末) 如图、已知直线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．

（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线对称轴上的点P，使得以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和点”、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由．

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4. (2024九上·黄石港开学考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．

（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．

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5. (2024·镇海区模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .

（1）若该二次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴仅有一个公共点 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
（2）在(1)的条件下，若直线 $\text{[math]}$ 的图象与二次函数的图象交于两点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .请直接写出当 $\text{[math]}$ 的值为多少时， $\text{[math]}$ 为直角三角形.

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6. (2024·大庆) 如图，已知二次函数y＝ax²+2x+c的图象与x轴交于A ， B两点，A点坐标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，3），点M为抛物线顶点，点E为AB中点．

（1）求二次函数的表达式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q ．使得∠QCB＝2∠ABC ，求点Q的坐标；
（3）已知D ， F为抛物线上不与A ， B重合的相异两点．
①若点F与点C重合，D（m ， ﹣12），且m＞1，求证：D ， E ， F三点共线；
②若直线AD ， BF交于点P ，则无论D ， F在抛物线上如何运动，只要D ， E ， F三点共线，△AMP ， △MEP ， △ABP中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由．

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7. (2024·长沙) 已知四个不同的点 $\text{[math]}$ 都在关于 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 是常数， $\text{[math]}$ 的图象上.

（1）当A，B两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ 时，求代数式 $\text{[math]}$ 的值；
（2）当A，B两点的坐标满足 $\text{[math]}$ 时，请你判断此函数图象与 $\text{[math]}$ 轴的公共点的个数，并说明理由；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，该函数图象与 $\text{[math]}$ 轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足： $\text{[math]}$ .请问是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由(注： $\text{[math]}$ 表示一条长度等于EF的 $\text{[math]}$ 倍的线段).

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8. (2024·泰安) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .

（1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；
（2）将拋物线 $\text{[math]}$ 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到拋物线 $\text{[math]}$ ，求拋物线 $\text{[math]}$ 的表达式，并判断点 $\text{[math]}$ 是否在拋物线 $\text{[math]}$ 上；
（3）在 $\text{[math]}$ 轴上方的抛物线 $\text{[math]}$ 上，是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是等腰直角三角形.若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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9. (2024·眉山) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点 $\text{[math]}$ 在第二象限内，且 $\text{[math]}$ 的面积为3时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
（3）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．