2017高考数学备考复习易错题九：空间向量与立体几何

更新时间：2017-12-23 浏览次数：1050 类型：三轮冲刺

一、单选题

1.
如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是AB上一点，当二面角P－EC－D的平面角为 $\text{[math]}$ 时，AE＝(　　)

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2－ $\text{[math]}$ D . 2－ $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
2. △ABC一边BC在平面 $\text{[math]}$ 内，顶点A在平面 $\text{[math]}$ 外，已知 $\text{[math]}$ ，三角形所在平面与 $\text{[math]}$ 所成的二面角为 $\text{[math]}$ ，则直线AB与 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
3.
如图所示，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，O是平面A'B'C'D'的中心，则O到平面ABC'D'的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
4. 如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF= $\text{[math]}$ ，则下列结论中错误的个数是( )

(1) AC⊥BE.
(2) 若P为AA₁上的一点，则P到平面BEF的距离为 $\text{[math]}$ .
(3) 三棱锥A-BEF的体积为定值.
(4) 在空间与DD₁ ， AC，B₁C₁都相交的直线有无数条.
(5) 过CC₁的中点与直线AC₁所成角为40并且与平面BEF所成角为50的直线有2条.

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

答案解析收藏纠错 + 选题
5. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且BP $\text{[math]}$ 平面ABC，则实数x，y，z分别为( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
6. 若平面α、β的法向量分别为 $\text{[math]}$ =（2，﹣3，5）， $\text{[math]}$ =（﹣3，1，﹣4），则（　　）

A . α∥β B . α⊥β C . α、β相交但不垂直 D . 以上均不正确

答案解析收藏纠错 + 选题
7. (2013·大纲卷理) 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题
8. (2015高二上·福建期末) 以正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的顶点D为坐标原点O，如图建立空间直角坐标系，则与 $\text{[math]}$ 共线的向量的坐标可以是（）

A . （2，﹣2，2） B . （﹣2，﹣2，2） C . （﹣2，2，2） D . （﹣2，﹣2，﹣2）

答案解析收藏纠错 + 选题
9. (2015高一上·娄底期末) 如图长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=6，AD=D′D=5，二面角D′﹣AB﹣D的大小是（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

答案解析收藏纠错 + 选题
10. (2015高二上·滨州期末) 在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，化简 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

答案解析收藏纠错 + 选题

二、填空题

11. 已知向量 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

答案解析收藏纠错 + 选题
12. (2016高二下·姜堰期中) 设点C（2a+1，a+1，2）在点设P（2，0，0），A（1，﹣3，2），B（8，﹣1，4）确定的平面上，则a的值为．

答案解析收藏纠错 + 选题
13. (2015高二上·西宁期末) 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于．

答案解析收藏纠错 + 选题

三、综合题

14. (2016·新课标I卷文)
如图，已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．
1. （1）证明：G是AB的中点；
2. （2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
答案解析收藏纠错 + 选题
15. (2016·浙江文)
如图，在三棱台ABC﹣DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3．
1. （1）求证：BF⊥平面ACFD；
2. （2）求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
答案解析收藏纠错 + 选题
16. (2016·新课标Ⅲ卷理)
如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．
1. （1）证明：MN∥平面PAB；
2. （2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．
答案解析收藏纠错 + 选题
17. (2013·大纲卷理) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
1. （1）证明：PB⊥CD；
2. （2）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
答案解析收藏纠错 + 选题
18. (2013·陕西理) 如图，四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
2. （2）求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．
答案解析收藏纠错 + 选题
19. (2014·广东理) 如图，四边形ABCD为正方形．PD⊥平面ABCD，∠DPC=30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．
1. （1）证明：CF⊥平面ADF；
2. （2）求二面角D﹣AF﹣E的余弦值．
答案解析收藏纠错 + 选题
20. (2014·辽宁理) 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2．∠ABC=∠DBC=120°，E、F分别为AC、DC的中点．
1. （1）求证：EF⊥BC；
2. （2）求二面角E﹣BF﹣C的正弦值．
答案解析收藏纠错 + 选题
21. (2015高二上·朝阳期末)
如图，长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=AB=1，AD=2，E为BC的中点，点M，N分别为棱DD₁ ， A₁D₁的中点．
1. （1）求证：平面CMN∥平面A₁DE；
2. （2）求证：平面A₁DE⊥平面A₁AE．
答案解析收藏纠错 + 选题