2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）-在线组卷

1. (2019·江苏) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.

（1）已知等比数列{a_n} $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，求证：数列{a_n}为“M－数列”；
（2）已知数列{b_n}满足： $\text{[math]}$ ，其中S_n为数列{b_n}的前n项和．
①求数列{b_n}的通项公式；

②设m为正整数，若存在“M－数列”{c_n} $\text{[math]}$ ，对任意正整数k ，当k≤m时，都有 $\text{[math]}$ 成立，求m的最大值．

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2. (2019·上海) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的公差 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ．

（1）若 $\text{[math]}$ ，求集合 $\text{[math]}$ ；
（2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 使得集合 $\text{[math]}$ 恰好有两个元素；
（3）若集合 $\text{[math]}$ 恰好有三个元素：b_n+T=b_n ，T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值．

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3. (2019·浙江) 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₃=4.a₄=S₃ ，数列{b_n}满足：

对每个n∈N^* ， S_n+b_n ， S_n+1+b_n、S_n+2+b_n成等比数列

（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式
（2）记C_n= $\text{[math]}$ ，n∈N^* ，证明：C₁+C₂+…+C_n＜2 $\text{[math]}$ ，n∈N^*

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4. (2019·天津) 设 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是等比数列，公比大于0，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ .

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5. (2019·天津) 设 $\text{[math]}$ 是等差数列， $\text{[math]}$ 是等比数列.已知 $\text{[math]}$ .

（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 其中 $\text{[math]}$ .

（i）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；

（ii）求 $\text{[math]}$ .

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6. (2024高二下·江阳期末) 已知 $\text{[math]}$ 是各项均为正数的等比数列， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 。

（1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，求数列{ $\text{[math]}$ }的前n项和。

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7. (2019·北京) 设{a_n}是等差数列，a₁=-10，且a₂+10，a₃+8，a₄+6成等比数列.

（I）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）记{a_n}的前n项和为S_n ，求S_n的最小值.

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8. (2020高二上·千阳期中) 已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₁=0， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

（1）证明：{a_n+b_n}是等比数列，{a_n–b_n}是等差数列；
（2）求{a_n}和{b_n}的通项公式.

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9. (2019·北京) 已知数列{a_n}，从中选取第i₁项、第i₂项…第i_m项（i₁<i₂<…<i_m）.若a_i1<a_i2<…<a_im.则称新数列a_i1 ， a_i2 ， …，a_im.为{a_n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a_n}的任意一项都是{a_n}的长度为1的递增子列.

（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；

（II）已知数列{a_n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a_m0 ，长度为q的递增子列的末项的最小值为a_n0 ，若p<q，求证：a_m0<a_n0；

（III）设无穷数列{a_n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若{a_n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s-1，且长度为s末项为2s-1的递增子列恰有2^s-1个（s=1.2.…），求数列{a_n}的通项公式。

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10. (2019·全国Ⅰ卷文) 记S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知S_n=-a₅

（1）若a₃=4，求{a_n}的通项公式。
（2）若a₁≥0，求使得S_n≥a_n的n取值范围。

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