福建省南平市2021届高三数学二模试卷

更新时间：2021-05-28 浏览次数：165 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2023·桂林模拟) 设集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·南平模拟) 复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则复平面上表示复数 $\text{[math]}$ 的点位于（）

A . 第一或第三象限 B . 第二或第四象限 C . 实轴 D . 虚轴

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3. (2021·南平模拟) 函数 $\text{[math]}$ 的图象的大致形状是（）

A . B . C . D .

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4. (2021·南平模拟) 攒尖顶是中国古代建筑中屋顶的一种结构形式，通常有圆形、三角、四角、六角、八角等结构，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林的亭阁建筑为六角攒尖顶，它的屋顶轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为 $\text{[math]}$ ，则该正六棱锥底面内切圆半径与侧棱长之比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·南平模拟) 克劳德·香农是美国数学家、信息论的创始人，他创造的香农定理对通信技术有巨大的贡献． $\text{[math]}$ 技术的数学原理之一便是著名的香农公式： $\text{[math]}$ ．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率 $\text{[math]}$ 取决于信道带宽 $\text{[math]}$ 、信道内信号的平均功率 $\text{[math]}$ 、信道内部的高斯噪声功率 $\text{[math]}$ 的大小，其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽 $\text{[math]}$ ，而将信噪比 $\text{[math]}$ 从1000提升至4000，则 $\text{[math]}$ 大约增加（）

A . 10% B . 20% C . 30% D . 50%

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6. (2021·南平模拟) 过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 的图象交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 10

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7. (2021·南平模拟) 某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择， $\text{[math]}$ 品牌设备需投入60万元， $\text{[math]}$ 品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：

$\text{[math]}$ 品牌的使用年限	2	3	4	5
概率	0.4	0.3	0.2	0.1
$\text{[math]}$ 品牌的使用年限	2	3	4	5
概率	0.1	0.3	0.4	0.2

更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析（）

A . 不更换设备 B . 更换为A设备 C . 更换为B设备 D . 更换为A或B设备均可

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8. (2021·南平模拟) 设函数 $\text{[math]}$ ，若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 有且仅有两个整数解，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021·南平模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，且 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 到渐近线的距离随着 $\text{[math]}$ 的增大而减小 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的实轴长是虚轴长的3倍

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10. (2021·南平模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列不等式恒成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021·南平模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 与函数 $\text{[math]}$ 有相同的对称中心，则下列结论正确的是（）

A . 若方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个不同的实数根，则 $\text{[math]}$ 取值范围是 $\text{[math]}$ B . 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，会与函数 $\text{[math]}$ 的图象重合 C . 函数 $\text{[math]}$ 的所有零点的集合为 $\text{[math]}$ D . 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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12. (2021·南平模拟) 在菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将菱形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折成大小为 $\text{[math]}$ 的二面角 $\text{[math]}$ ，四面体 $\text{[math]}$ 内接于球 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值是1 B . 无论 $\text{[math]}$ 为何值，都有 $\text{[math]}$ C . 四面体 $\text{[math]}$ 的表面积的最大值是 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，球 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2021高二下·威宁县期末) 请写出与曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处具有相同切线的一个函数（非常数函数）的解析式为 $\text{[math]}$ ．

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14. (2021·南平模拟) 过抛物线 $\text{[math]}$ 焦点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在第一象限，若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为．

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15. (2021·南平模拟) 福建省于2021年启动了中学生科技创新后备人才培养计划（简称中学生“英才计划”），在数学、物理、化学、生物、计算机等学科有特长的学生入选2021年福建省中学生“英才计划”，他们将在大学教授的指导下进行为期一年的培养，现有4名数学特长生可从3位数学教授中任选一位作为导师，每位数学教授至多带2名数学特长生，则不同的培养方案有一种．（结果用数字作答）

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16. (2021·南平模拟) 在平面直角坐标系中，定义 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点间的直角距离为 $\text{[math]}$ ，如图， $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 时的一段弧， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点，将 $\text{[math]}$ 依次以原点 $\text{[math]}$ 为中心逆时针旋转 $\text{[math]}$ 五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则 $\text{[math]}$ ．若点 $\text{[math]}$ 为曲线上任一点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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四、解答题

17. (2021·南平模拟) 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对的边分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且________．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积．
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18. (2021·南平模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：数列 $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. (2021·南平模拟) 如图，已知四边形 $\text{[math]}$ 为菱形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. (2021·南平模拟) 一个国家的数学实力往往影响着国家的科技发展，几乎所有的重大科技进展都与数学息息相关，我国第五代通讯技术 $\text{[math]}$ 的进步就是源于数学算法的优化.华为公司所研发的Single $\text{[math]}$ 算法在部署 $\text{[math]}$ 基站时可以把原来的 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 基站利用起来以节省开支，华为创始人任正非将之归功于“数学的力量”，近年来，我国加大 $\text{[math]}$ 基站建设力度，基站已覆盖所有地级市，并逐步延伸到乡村．

附：设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对于样本 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ 有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）现抽样调查英市所轴的 $\text{[math]}$ 地和 $\text{[math]}$ 地 $\text{[math]}$ 基站覆盖情况，各取100个村，调查情况如下表：

已覆盖

未覆盖

A地

20

80

B地

25

75

视样本的频率为总体的概率，假设从 $\text{[math]}$ 地和 $\text{[math]}$ 地所有村中各随机抽取2个村，求这4个村中 $\text{[math]}$ 地 $\text{[math]}$ 已覆盖的村比 $\text{[math]}$ 地多的概率；

（2）该市2020年已建成的 $\text{[math]}$ 基站数 $\text{[math]}$ 与月份 $\text{[math]}$ 的数据如下表：

$\text{[math]}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$\text{[math]}$	283	340	428	547	701	905	1151	1423	1721	2109	2601	3381

探究上表中的数据发现，因年初受新冠疫情影响， $\text{[math]}$ 基站建设进度比较慢，随着疫情得到有效控制， $\text{[math]}$ 基站建设进度越来越快，根据散点图分析，已建成的 $\text{[math]}$ 基站数呈现先慢后快的非线性变化趋势，采用非线性回归模型 $\text{[math]}$ 拟合比较合理，请结合参考数据，求 $\text{[math]}$ 基站数 $\text{[math]}$ 关于月份 $\text{[math]}$ 的回归方程．（ $\text{[math]}$ 的值精确到0.01）．

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21. (2021·南平模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，且椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，若过原点的直线交 $\text{[math]}$ 于A ， $\text{[math]}$ 两点，点A在第一象限， $\text{[math]}$ 轴，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ．
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22. (2021·南平模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
3. （3）用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的最大值，设函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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