北京市昌平区2022届高三数学二模试卷

更新时间：2022-06-29 浏览次数：62 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2022·昌平模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·宿州模拟) 设复数z满足 $\text{[math]}$ ，则z= （）

A . -1+i B . -1-i C . 1+i D . 1-i

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3. (2022·昌平模拟) 为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按照 $\text{[math]}$ 分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图. 若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为（）

A . 300 B . 450 C . 480 D . 600

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4. (2022·昌平模拟) 记 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . 7 C . 8 D . 9

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5. (2022·昌平模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，其右焦点到双曲线 $\text{[math]}$ 的一条渐近线的距离为 $\text{[math]}$ ，则双曲线 $\text{[math]}$ 的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022·昌平模拟) “ $\text{[math]}$ ”是“函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. (2022高二上·广丰月考) 如图，在正四棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是底面 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ // $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ //平面 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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8. (2023高二上·长春期末) 已知直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于两点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 变化时，△ $\text{[math]}$ 的面积的最大值为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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9. (2022·昌平模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2022·昌平模拟) 在△ $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 只需添加一个条件，即可使△ $\text{[math]}$ 存在且唯一.条件：① $\text{[math]}$ ； ② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 中，所有可以选择的条件的序号为（）

A . ① B . ①② C . ②③ D . ①②③

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二、填空题

11. (2022·房山模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 的准线方程为．

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12. (2022·昌平模拟) $\text{[math]}$ 展开式中常数项为（用数字作答）.

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13. (2022·昌平模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 有且仅有两个零点，则实数 $\text{[math]}$ 的一个取值为.

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14. (2022·昌平模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是△ $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$

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15. (2022·昌平模拟) 刺绣是中国优秀的民族传统工艺之一，已经有2000多年的历史.小王同学在刺绣选修课上，设计了一个螺旋形图案--即图中的阴影部分.它的设计方法是：先画一个边长为3的正三角形 $\text{[math]}$ ，取正三角形 $\text{[math]}$ 各边的三等分点 $\text{[math]}$ ，得到第一个阴影三角形 $\text{[math]}$ ；在正三角形 $\text{[math]}$ 中，再取各边的三等分点 $\text{[math]}$ ，得到第二个阴影三角形 $\text{[math]}$ ；继续依此方法，直到得到图中的螺旋形图案，则 $\text{[math]}$ ；图中螺旋形图案的面积为.

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三、解答题

16. (2022·昌平模拟) 如图，在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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17. (2022·昌平模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最大值为2，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
  条件①： $\text{[math]}$ 的最小值为-2；
  条件②： $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ；
  条件③；直线 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的图象的一条对称轴.
  注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
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18. (2022·昌平模拟) 某产业园生产的一种产品的成本为50元/件.销售单价依产品的等级来确定，其中优等品、一等品、二等品、普通品的销售单价分别为80元、75元、65元、60元.为了解各等级产品的比例，检测员从流水线上随机抽取200件产品进行等级检测，检测结果如下表所示.
产品等级
优等品
一等品
二等品
普通品
样本数量（件）
30
50
60
60
1. （1）若从流水线上随机抽取一件产品，估计该产品为优等品的概率；
2. （2）从该流水线上随机抽取3件产品，记其中单件产品利润大于20元的件数为 $\text{[math]}$ ，用频率估计概率，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
3. （3）为拓宽市场，产业园决定对抽取的200件样本产品进行让利销售，每件产品的销售价格均降低了5元.设降价前后这200件样本产品的利润的方差分别为 $\text{[math]}$ ，比较 $\text{[math]}$ 的大小.（请直接写出结论）
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19. (2022·昌平模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，上下顶点分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .过点 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于不同的两点 $\text{[math]}$ （不与点 $\text{[math]}$ 重合）.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 三点共线.
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20. (2022·昌平模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 在它们的交点 $\text{[math]}$ 处具有公共切线，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 无零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处取得极小值，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. (2022·昌平模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ ，给出两个性质：
①对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 成立；
②对于任意的 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，都有 $\text{[math]}$ 成立．
1. （1）已知数列 $\text{[math]}$ 满足性质①，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试写出 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）已知数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，证明：数列 $\text{[math]}$ 满足性质①；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 满足性质①②，且当 $\text{[math]}$ 时，同时满足性质①②的 $\text{[math]}$ 存在且唯一.证明：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列．
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