湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期数学期中联考...

更新时间：2022-12-10 浏览次数：53 类型：期中考试

一、单选题

1. (2022高二上·长沙期中) 点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴的对称点的坐标为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2022高二上·长沙期中) 若圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相外切，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . 1

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3. (2022高二上·长沙期中) 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为圆上任意一点，定点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则当点 $\text{[math]}$ 在圆上运动时，点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022高二上·长沙期中) 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高二上·苏州期中) 已知椭圆： $\text{[math]}$ ，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的最大值为5，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高二上·长沙期中) 如图，在平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高二上·长沙期中) 已知正方体 $\text{[math]}$ 棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则异面直线BP与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积不是定值 C . 若 $\text{[math]}$ ，有且仅有一个点P ，使得 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则异面直线BP和 $\text{[math]}$ 所成角取值范围是 $\text{[math]}$

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8. (2022高二上·长沙期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点为 $\text{[math]}$ ，左右焦点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ .过 $\text{[math]}$ 且垂直于 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的周长是（）

A . 19 B . 14 C . $\text{[math]}$ D . 13

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二、多选题

9. (2023高二上·杭州期末) 若方程 $\text{[math]}$ 表示的曲线为 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的有（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则曲线 $\text{[math]}$ 为椭圆 B . 若曲线 $\text{[math]}$ 为双曲线，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . 曲线 $\text{[math]}$ 不可能是圆 D . 若曲线 $\text{[math]}$ 表示焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆，则 $\text{[math]}$

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10. (2022高二上·长沙期中) 在三维空间中，定义向量的外积： $\text{[math]}$ 叫做向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：
① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）；

② $\text{[math]}$ 的模 $\text{[math]}$ ， ( $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角)．

在正方体 $\text{[math]}$ 中，有以下四个结论，正确的有（　　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与正方体表面积的数值相等

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11. (2022高二上·长沙期中) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的右焦点为F ，点P在椭圆C上，点Q在圆E： $\text{[math]}$ 上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（）

A . 椭圆C的焦距为1 B . 椭圆C的短轴长为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 过点F的圆E的切线斜率为 $\text{[math]}$

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12. (2022高二上·长沙期中) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形，半圆面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为半圆弧 $\text{[math]}$ 上一动点（点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），下列说法正确的是（）

A . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的四个面都是直角三角形 B . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大值为 $\text{[math]}$ C . 异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的距离是定值 D . 当直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角最大时，平面 $\text{[math]}$ 截四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的截面面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2022高二上·长沙期中) 已知，空间直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，过点 $\text{[math]}$ 且一个法向量为 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ．经过点 $\text{[math]}$ 且方向向量为 $\text{[math]}$ 的直线方程为 $\text{[math]}$ ．用以上知识解决下面问题：已知平面 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为．

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14. (2022高二上·长沙期中) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的两个焦点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $\text{[math]}$ ，则四边形 $\text{[math]}$ 的面积为．

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15. (2022高二上·长沙期中) 已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 设 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，令 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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16. (2022高二上·长沙期中) 已知椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交椭圆 $\text{[math]}$ 与另一点 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 不与 $\text{[math]}$ 重合）．设 $\text{[math]}$ 的外心为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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四、解答题

17. (2022高二上·长沙期中) 已知△ABC的三个顶点分别为A（2，1），B（-2，3），C（0，-3），求：
1. （1）若BC的中点为D，求直线AD的方程；
2. （2）求△ABC的面积．
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18. (2022高二上·长沙期中) 在锐角 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$
1. （1）求角C的大小；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，角A与角B的内角平分线相交于点D，求 $\text{[math]}$ 面积的取值范围.
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19. (2022高二上·长沙期中) 如图，斜三棱柱 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（包括端点）．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值的取值范围．
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20. (2022高二上·长沙期中) 已知圆 $\text{[math]}$ 的圆心 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 上，且与直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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21. (2022高二上·长沙期中) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为圆柱 $\text{[math]}$ 的母线， $\text{[math]}$ 是底面圆 $\text{[math]}$ 的直径， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角余弦值．
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22. (2022高二上·长沙期中) 已知直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于点A ， B ，与x轴交于点C ，与y轴交于点D.当直线l经过椭圆E的左顶点时，椭圆E两焦点到直线l的距离之比为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆E的离心率；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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