【提升卷】1.5三角函数的应用—2023-2024学年北师大...

更新时间：2023-09-17 浏览次数：144 类型：同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

1. (2023·瓯海模拟) 如图，一把梯子 $\text{[math]}$ 斜靠在墙上，端点A离地面的高度 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .当梯子底端点B沿水平方向向左移动到点 $\text{[math]}$ ，端点A沿墙竖直向上移动到点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长可以表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·温州模拟) 图1是一地铁站入口的双翼闸机，双翼展开时示意图如图2所示，它是一个轴对称图形， $\text{[math]}$ ，则双翼边缘端点C与D之间的距离为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2024九下·郧西期中) 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则房顶A离地面 $\text{[math]}$ 的高度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·济南模拟) 某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联结点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为（　　）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

A . B . C . D .

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5. (2023九上·内江期末) 如图，直立于地面上的电线杆 $\text{[math]}$ ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，坡面的坡度 $\text{[math]}$ ，测得 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为 $\text{[math]}$ ，则电线杆 $\text{[math]}$ 的高度为（）米.

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022九上·潞城月考) 如图，这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图， $\text{[math]}$ ，坝高 $\text{[math]}$ ，将原坡度 $\text{[math]}$ 的迎水坡面 $\text{[math]}$ 改为坡角为 $\text{[math]}$ 的斜坡 $\text{[math]}$ ，此时，河坝面宽减少的长度 $\text{[math]}$ 等于（）（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据 $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023·福田模拟) 如图2，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点A经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点C处，从点A测得点C的俯角α为60°，测得点D的俯角β为30°，若旗杆底部G为BC的中点，则，矮建筑物的高CD为（）

A . 18米 B . 20米 C . 10 $\text{[math]}$ 米 D . (45-15 $\text{[math]}$ )米

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8. (2023·光明模拟) 在综合实践课上，某班同学测量校园内一棵树的高度．如图，测量仪在A处测得树顶D的仰角为45°，在C处测得树顶D的仰角为37°（点A、B、C在同一条水平主线上），已知测量仪的高度 $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米，则树BD的高度是（）【参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 】

A . 12米 B . 12.65米 C . 13米 D . 13.65米

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9. (2023·金东模拟) 如图，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东35°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若 $\text{[math]}$ 米，则AB的长等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·斗门模拟) 某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东 $\text{[math]}$ 方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东 $\text{[math]}$ 方向上且距离 $\text{[math]}$ 处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东 $\text{[math]}$ 的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. (2023·武汉模拟) 一艘在南北航线上的测量船，在点A处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在点C的北偏东45°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留整数）．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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12. (2023·肇东模拟) 如图，轮船B在码头A的正东方向，与码头A的距离为100海里，轮船B向北航行40海里到达C处时，接到D处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45°方向航行到D处，解教渔船后轮船沿南偏西82°返回到码头A，那么码头A与D的距离为海里．（结果保留整数，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．）

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13. 综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面 $\text{[math]}$ 的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为 $\text{[math]}$ ，尚美楼顶部F的俯角为 $\text{[math]}$ ，已知博雅楼高度 $\text{[math]}$ 为15米，则尚美楼高度 $\text{[math]}$ 为米．（结果保留根号）

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14. (2023·游仙模拟) 某水上乐园在一平地推出了“急流勇进”的项目，项目有两条斜坡滑道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯 $\text{[math]}$ 自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道 $\text{[math]}$ 的坡度为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ （其中点A、B、C、D均在同一平面内），则垂直升降电梯 $\text{[math]}$ 的高度约为米．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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15. (2023九下·黄石港月考) 如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方 $\text{[math]}$ 米处的点C出发，沿斜面坡度 $\text{[math]}$ 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．旗杆AB的高度为米．（参考数据： $\text{[math]}$ ．计算结果保留根号）

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三、解答题（共7题，共55分）

16. (2023·恩施) 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处测出点 $\text{[math]}$ 的仰角度数，可以求出信号塔 $\text{[math]}$ 的高．如图， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．他在点 $\text{[math]}$ 处测得点 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 处测得点 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔 $\text{[math]}$ 的高吗？若能，请求出信号塔 $\text{[math]}$ 的高；若不能，请说明理由．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，结果保留整数）

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17. (2023·营口) 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到素质教育基地A和科技智能馆B参观学习，学生从学校出发，走到C处时，发现A位于C的北偏西 $\text{[math]}$ 方向上，B位于C的北偏西 $\text{[math]}$ 方向上，老师将学生分成甲乙两组，甲组前往A地，乙组前往B地，已知B在A的南偏西 $\text{[math]}$ 方向上，且相距1000米，请求出甲组同学比乙组同学大约多走多远的路程（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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18. (2023·包头) 为了增强学生体质、针炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为 $\text{[math]}$ 点和 $\text{[math]}$ 点，行进路线为 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 点的南偏东 $\text{[math]}$ 方向 $\text{[math]}$ 处， $\text{[math]}$ 点在 $\text{[math]}$ 点的北偏东 $\text{[math]}$ 方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ .
⑴求行进路线BC和CA所在直线的夹角 $\text{[math]}$ 的度数；

⑵求检查点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间的距离(结果保留根号).

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19. (2023·贵州) 贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚 $\text{[math]}$ 为起点，沿途修建 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两段长度相等的观光索道，最终到达山顶 $\text{[math]}$ 处，中途设计了一段与 $\text{[math]}$ 平行的观光平台 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．索道 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与水平线夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两处的水平距离 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为点 $\text{[math]}$ ．（图中所有点都在同一平面内，点 $\text{[math]}$ 在同一水平线上）
1. （1）求索道 $\text{[math]}$ 的长（结果精确到 $\text{[math]}$ ）；
2. （2）求水平距离 $\text{[math]}$ 的长（结果精确到 $\text{[math]}$ ）．
  （参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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20. (2023·广元) “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为 $\text{[math]}$ ，当其中一片风叶 $\text{[math]}$ 与塔干 $\text{[math]}$ 叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角 $\text{[math]}$ ，风叶 $\text{[math]}$ 的视角 $\text{[math]}$ ．
1. （1）已知α，β两角和的余弦公式为： $\text{[math]}$ ，请利用公式计算 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求风叶 $\text{[math]}$ 的长度．
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21. (2023·福建) 阅读下列材料，回答问题

任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大度 $\text{[math]}$ 远大于南北走向的最大宽度，如图1．

工具：一把皮尺（测量长度略小于 $\text{[math]}$ ）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点 $\text{[math]}$ 处，对其视线可及的 $\text{[math]}$ 两点，可测得 $\text{[math]}$ 的大小，如图3．

小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度 $\text{[math]}$ ，其测量及求解过程如下：测量过程：

（ⅰ）在小水池外选点 $\text{[math]}$ ，如图4，测得 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）分别在 $\text{[math]}$ 上测得 $\text{[math]}$ ；测得 $\text{[math]}$ ．求解过程：

由测量知， $\text{[math]}$ ，

$\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ ①____，

$\text{[math]}$ ．

又 $\text{[math]}$ ②____（ $\text{[math]}$ ．

故小水池的最大宽度为____ $\text{[math]}$ ．

（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得 $\text{[math]}$ 用到的几何知识是；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得 $\text{[math]}$ ．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度 $\text{[math]}$ ，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母 $\text{[math]}$ 表示，角度用 $\text{[math]}$ 表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出 $\text{[math]}$ ，且测量的次数最少，才能得满分）．

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22. (2023·宿迁) 【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即 $\text{[math]}$ ）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A ．经测得，小军的眼睛离地面的距离 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求建筑物AB的高度．

【活动探究】

观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子移动至 $\text{[math]}$ 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G ，测出 $\text{[math]}$ ；再将镜子移动至 $\text{[math]}$ 处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A ，测出 $\text{[math]}$ ．经测得，小军的眼睛离地面距离 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求这个广告牌AG的高度．

【应用拓展】

小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离 $\text{[math]}$ ），小明通过移动镜子（镜子平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出 $\text{[math]}$ ；③测出坡长 $\text{[math]}$ ；④测出坡比为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整数）．

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