江苏省南京市2024届高三上学期期中复习数学试题

更新时间：2023-12-16 浏览次数：18 类型：期中考试

一、单选题

1. (2023高三上·南京期中) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023高三上·南京期中) 设复数 $\text{[math]}$ ，其中i是虚数单位， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的共轭复数，下列判断中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . z是方程 $\text{[math]}$ 的一个根 D . 满足 $\text{[math]}$ 最小正整数n为3

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3. (2023高三上·南京期中) 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（）

A . 120种 B . 240种 C . 360种 D . 720种

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4. (2023高三上·南京期中) 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023高三上·南京期中) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023高三上·南京期中) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 对任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023高三上·南京期中) 设函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的导函数存在，且 $\text{[math]}$ ，则当 $\text{[math]}$ 时（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三上·南京期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点和右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2023高三上·南京期中) 如图，在正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正弦值为 $\text{[math]}$

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10. (2023高三上·南京期中) 声音中包含着正弦函数，周期函数产生了美妙的音乐.若我们听到的声音的函数是 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的最小正周期是 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的最小值 C . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的零点 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 存在极值

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11. (2023高三上·南京期中) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点重合，抛物线 $\text{[math]}$ 的动弦 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 且垂直于弦 $\text{[math]}$ 的直线交抛物线的准线与点 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 抛物线的标准方程为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ C . 过 $\text{[math]}$ 两点分别作 $\text{[math]}$ 与准线垂直，则 $\text{[math]}$ 为直角三角形 D . $\text{[math]}$ 的面积为定值

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三、填空题

12. (2023高三上·南京期中) 已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. (2023高三上·南京期中) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2023高三上·南京期中) 已知 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）的左、右焦点，点 $\text{[math]}$ 在双曲线上且不与顶点重合，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的角平分线的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则该双曲线的离心率为．

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15. (2023高三上·南京期中) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为．

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四、解答题

16. (2023高三上·南京期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， ____.
请在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 成等比数列；③ $\text{[math]}$ ，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
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17. (2023高三上·南京期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 只能同时满足以下三个条件中的两个．
①函数f（x）的最大值是2；

②函数f（x）的图象可由函数 $\text{[math]}$ 左右平移得到；

③函数f（x）的对称中心与f（x）的对称轴之间的最短距离是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出这两个条件的序号（不必说明理由）并求出函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 的内角A、B、C所对的边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2023高三上·北辰月考) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， $\text{[math]}$ ， AP⊥平面ABCD， $\text{[math]}$ ，点M、N分别为线段BC和PD的中点．
1. （1）求证：AN⊥平面PDM；
2. （2）求平面PDM与平面PDC夹角的正弦值；
3. （3）在线段PC(不包括端点)上是否存在一点E，使得直线BE与平面PDC所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，若存在，求出线身PE的长：若不存在，请说明理由.
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19. (2023高三上·南京期中) 甲､乙两人进行射击比赛，一局比赛中，先射击的一方最多可射击3次，一旦未击中目标即停止，然后换另一方射击，一旦未击中目标或两方射击总次数达5次均停止，本局比赛结束，各方击中目标的次数即为其本局比赛得分，已知甲､乙每次射击击中目标的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，两人的各次射击是否击中目标相互独立，一局比赛中，若甲先射击.
1. （1）求甲､乙得分相同的概率；
2. （2）设乙的得分为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望.
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20. (2023高三上·南京期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为自然对数的底数).
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）证明：对任意实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 有且只有一个零点.
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21. (2023高三上·南京期中) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，且以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆过点 $\text{[math]}$
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 为坐标原点，若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的面积为定值1时， $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不是，请说明理由.
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