【B卷】第二章二次函数—北师大版九年级下册单元测试

更新时间：2024-01-14 浏览次数：80 类型：单元试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1. (2023九上·路北期中) 关于x的一元二次方程（m﹣3）x²+m²x＝9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　）

A . 0 B . ±3 C . 3 D . ﹣3

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2. (2023九上·金华月考) 已知点P₁（x₁ ， y₁），P₂（x₂ ， y₂）为抛物线y＝ax²﹣4ax+c（a≠0）上两点，且x₁＜x₂ ，则下列说法正确的是（）

A . 若x₁+x₂＜4，则y₁＜y₂ B . 若x₁+x₂＞4，则y₁＜y₂ C . 若a（x₁+x₂﹣4）＞0，则y₁＞y₂ D . 若a（x₁+x₂﹣4）＜0，则y₁＞y₂

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3. (2023九上·泸州月考) 如图，正方形OABC有三个顶点在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 是原点，顶点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上则顶点 $\text{[math]}$ 的坐标是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023九上·滨江期中) 在抛物线y＝a（x﹣m﹣1）²+c（a≠0）和直线y＝﹣ $\text{[math]}$ x的图象上有三点（x₁ ， m）、（x₂ ， m）、（x₃ ， m），则x₁+x₂+x₃的结果是（）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . 1 D . 2

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5. (2023九上·阜阳期中) 已知某抛物线与二次函数 $\text{[math]}$ 的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 设函数 $\text{[math]}$ 是实数， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .据此可知（）.

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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7. (2023九上·黄浦期中) 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD宽为（　　）

A . 4 $\text{[math]}$ 米 B . 10米 C . 4 $\text{[math]}$ 米 D . 12米

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8. (2023九上·柯桥月考) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为各边上的点，且 $\text{[math]}$ ，设小正方形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数图象大致是（）

A . B . C . D .

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9. (2023九上·宣化期中) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的位置如图所示，甲、乙、丙三人关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根的情况判断如下，其中正确的有（）
甲：当 $\text{[math]}$ 时，该方程没有实数根；
乙：当 $\text{[math]}$ 时，该方程有两个相等实数根；
丙：当 $\text{[math]}$ 时，该方程有两个不相等的实数根.

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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10. (2023九上·宣化期中) 题目：“如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 和点B.点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移3个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，直接写出点M的横坐标 $\text{[math]}$ 的取值范围.”对于其答案，甲答： $\text{[math]}$ ，乙答： $\text{[math]}$ ，丙答： $\text{[math]}$ ，丁答： $\text{[math]}$ ，则正确的是（）

A . 只有甲答的对 B . 甲、乙答案合在一起才完整 C . 甲、丙答案合在一起才完整 D . 甲、丁答案合在一起才完整

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. (2023九上·游仙月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是二次函数，则 $\text{[math]}$ ．

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12. (2023九上·前郭尔罗斯期中) 如图①，抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，平行于 $\text{[math]}$ 轴的直线与该抛物线交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），根据对称性知 $\text{[math]}$ 恒为等腰三角形，我们规定：当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，就称 $\text{[math]}$ 为该抛物线的“完美三角形”．如图②，抛物线 $\text{[math]}$ 的“完美三角形”的斜边 $\text{[math]}$ 的长为．
① ②

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13. (2024九上·交城期中) 我们约定： $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的关联数，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”，若关联数为 $\text{[math]}$ 的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为.

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14. (2023九上·北京市月考) 已知某函数的图象过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，下面有四个推断：
$\text{[math]}$ 若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 若此函数的图象为抛物线，且经过 $\text{[math]}$ ，则该抛物线开口向下；
$\text{[math]}$ 若此函数的解析式为 $\text{[math]}$ ，且经过原点，则 $\text{[math]}$ ；
$\text{[math]}$ 若此函数的解析式为 $\text{[math]}$ ，开口向下，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的范围是 $\text{[math]}$ ．
所有合理推断的序号是．

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15. (2023九上·朝阳期中) 2023年5月28日，C919商业首航完成——中国民航商业运营国产大飞机正式起步.12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在抛物线的顶点H处相遇．此时相遇点H距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A′、B′到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面米．

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三、解答题（共7题，共55分）

16. (2023九上·涪城期中) 如图，在顶点为P的抛物线y＝a（x-h）²+k（a≠0）的对称轴l上取点A（h ， k+ $\text{[math]}$ ），过A作BC⊥l交抛物线于B、C两点（B在C的左侧），点A′和点A关于点P对称；过A′作直线m⊥l ，又分别过点B、C作BE⊥m和CD⊥m ，垂足为E、D ．在这里我们把点A叫此抛物线的焦点，BC叫此抛物线的直径，矩形BCDE叫此抛物线的焦点矩形．
1. （1）直接写出抛物线y＝ $\text{[math]}$ x²的焦点坐标以及直径的长．
2. （2）求抛物线y＝ $\text{[math]}$ （x-3）²+2的焦点坐标以及直径的长．
3. （3）已知抛物线y＝a（x-h）²+k（a≠0）的直径为 $\text{[math]}$ ，求a的值．
4. （4） ①已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）的焦点矩形的面积为2，求a的值．
  ②直接写出抛物线y＝ $\text{[math]}$ （x-3）²+2的焦点矩形与抛物线y＝x²-2mx+m²+1有两个公共点时m的取值范围．
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17. (2023九上·长春月考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+ $\text{[math]}$ x+c（a≠0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线y= $\text{[math]}$ x+2经过点A、C．
1. （1）求抛物线的解析式．
2. （2）若点M （m，y₁）、N （m+2，y₂）分别是抛物线上两点，若当m>-1时，y₁y₂<0，则m的取值范围为
3. （3）点D是抛物线上一个动点，当∠DCA=∠BCO时，求点D的坐标．
4. （4）若点P为抛物线上的点，H点P的横坐标为m，已知点E（ $\text{[math]}$ m-1，1），F （1-m，1），G （3-m，-2），H（ $\text{[math]}$ m+1，-2），当点P在四边形EFGH的内部时，直接写出m的取值范围．
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18. (2023九上·萧山月考) 排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某生第一次在 $\text{[math]}$ 处将球垫偏，之后又在A、 $\text{[math]}$ 两处先后垫球，球沿抛物线 $\text{[math]}$ 运动（假设抛物线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一平面内），最终正好在 $\text{[math]}$ 处垫住， $\text{[math]}$ 处离地面的距离为1米．如图所示，以 $\text{[math]}$ 为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系， $\text{[math]}$ 轴平行于地面水平直线 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 表达式为 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 表达式为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的函数表达式；
2. （2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
3. （3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处 $\text{[math]}$ 离地面的高度至少为多少米？
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19. (2023九上·朝阳期中) 中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）²+k（a＜0）．
1. （1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
  水平距离x/m
  0
  3
  3.5
  4
  4.5
  竖直高度y/m
  10
  10
  k
  10
  6.25
  根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；
2. （2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x²+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d₁；比赛当天入水点的水平距离为d₂ ，则d₁d₂（填“＞”“＝”或“＜”）；
3. （3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c ，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t²+c ，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
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20. (2023九上·宣城月考) 已知： $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，且 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的图像经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，如图所示.
1. （1）求这个抛物线的解析式；
2. （2）设（1）中的抛物线与 $\text{[math]}$ 轴的另一交点为 $\text{[math]}$ ，抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，试求出点 $\text{[math]}$ 的坐标和 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3） $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，与抛物线交于 $\text{[math]}$ 点，若直线 $\text{[math]}$ 把 $\text{[math]}$ 分成面积之比为2：3的两部分，请直接写出 $\text{[math]}$ 点的坐标.
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21. (2023九上·广州月考) 小爱同学学习二次函数后，对函数 $\text{[math]}$ 进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：
1. （1）观察探究：
  $\text{[math]}$ 写出该函数的一条性质：；
  $\text{[math]}$ 方程 $\text{[math]}$ 的解为：；
  $\text{[math]}$ 若方程 $\text{[math]}$ 有四个实数根，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．
2. （2）延伸思考：
  将函数 $\text{[math]}$ 的图象经过怎样的平移可得到函数 $\text{[math]}$ 的图象？写出平移过程，并直接写出当 $\text{[math]}$ 时，自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. (2023·临沂) 综合与实践
问题情境
小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下：

售价（元/盆）
日销售量（盆）
A
20
50
B
30
30
C
18
54
D
22
46
E
26
38
1. （1）数据整理
  请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中：
  
  售价（元/盆）
  
  日销售量（盆）
2. （2）模型建立
  分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系；
3. （3）拓广应用
  根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，
  ①要想每天获得400元的利润，应如何定价？
  ②售价定为多少时，每天能够获得最大利润？
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