2024年浙教版数学七（下）微素养核心突破9 十字相乘法

更新时间：2024-04-16 浏览次数：49 类型：复习试卷

一、选择题

1. 如果(x+4)(x-3)是 $\text{[math]}$ 因式分解的结果，那么m的值为（）

A . 7 B . -7 C . 1 D . -1

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2. 若多项式 $\text{[math]}$ 因式分解后有一个因式为（x +1），则n的值为（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2023八上·泸州期中) 多项式a²﹣5a﹣6因式分解的结果是（　　）

A . （a﹣2）（a+3） B . （a﹣6）（a+1） C . （a+6）（a﹣1） D . （a+2）（a﹣3）

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4. (2024七下·田阳期末) 把多项式x²+ax+b分解因式，得（x+1）（x-3）则a ， b的值分别是（）

A . a=2，b=3 B . a=-2，b=-3 C . a=-2，b=3 D . a=2，b=-3

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5. (2024八上·杭州期末) 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式（x﹣2）的是（　　）

A . x²﹣4 B . x³﹣4x²﹣12x C . x²﹣2x D . （x﹣3）²+2（x﹣3）+1

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6. (2024八上·柳州期末) 下列因式分解正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 因式分解x²+mx-12=(x+p)(x+q)，其中m，p，q都为整数，则这样的m的最大值为（）

A . 1 B . 4 C . 11 D . 12

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8. 若多项式x²+px+12在整数范围内可分解为两个一次因式的积，则整数p可能的取值有（）

A . 3个 B . 4个 C . 5个 D . 6个

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9. 已知多项式ax²+bx+c因式分解的结果为(x-1)·(x+4)，则abc为（）

A . 12 B . 9 C . -9 D . -12

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10. 下列各式从左边到右边的变形中，正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2023·安达期末) 分解因式：x²-x-12=．

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12. 若多项式 $\text{[math]}$ (m、n是常数）分解因式后，有一个因式为（x-3），则3m-n的值为.

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13. (2023七下·安庆期末) 分解因式： $\text{[math]}$ ．

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14. (2022七下·杭州期中) 分解因式： $\text{[math]}$ .

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15. (2024八下·滕州月考) 在将 $\text{[math]}$ 因式分解时，小刚看错了m的值，分解得 $\text{[math]}$ ；小芳看错了n的值，分解得 $\text{[math]}$ ，那么原式 $\text{[math]}$ 正确分解为.

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16. (2021八上·任城期中) 分解因式x²+3x+2的过程，可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如右图）.这样，我们可以得到x²+3x+2＝（x+1）（x+2）.请利用这种方法，分解因式2x²﹣3x﹣2＝.

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17. (2023七下·江阴期中) 现有若干张边长为a的正方形A型纸片，边长为b的正方形B型纸片，长宽为a、b的长方形C型纸片，小明同学选取了2张A型纸片，3张B型纸片，7张C型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为 $\text{[math]}$ 用a、b代数式表示 $\text{[math]}$

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18. (2021七下·镇海期末) 阅读下面材料：分解因式：x²+3xy+2y²+4x+5y+3．
∵x²+3xy+2y²＝（x+y）（x+2y）．

设x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+m）（x+2y+n）．

比较系数得，m+n＝4，2m+n＝5．解得m＝1，n＝3．

∴x²+3xy+2y²+4x+5y+3＝（x+y+1）（x+2y+3）．

解答下面问题：在有理数范围内，分解因式2x²﹣21xy﹣11y²﹣x+34y﹣3＝．

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三、计算题

19. 十字相乘法分解因式：
1. （1） x²+3x+2
2. （2） x²﹣3x+2
3. （3） x²+2x﹣3
4. （4） x²﹣2x﹣3
5. （5） x²+5x+6
6. （6） x²﹣5x﹣6
7. （7） x²+x﹣6
8. （8） x²﹣x﹣6
9. （9） x²﹣5x﹣36
10. （10） x²+3x﹣18
11. （11） 2x²﹣3x+1
12. （12） 6x²+5x﹣6．
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四、解答题

20. (2024八上·益阳开学考) 阅读与思考

整式乘法与因式分解是方向相反的变形．

$\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．

利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．

例如：将式子 $\text{[math]}$ 分解因式．

解： $\text{[math]}$ .

请仿照上面的方法，解答下列问题：

（1）分解因式： $\text{[math]}$ ．
（2）分解因式： $\text{[math]}$ ．
（3）若 $\text{[math]}$ 可分解为两个一次因式的积，求整数p所有可能的值．

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21. 对于二次三项式x²+2ax+a²可以直接用公式法分解为（x+a）²的形式，但对于二次三项式x²+2ax﹣3a² ，就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x²+2ax﹣3a²中先加上一项a² ，使其成为完全平方式，再减去a²这项，使整个式子的值不变．于是有x²+2ax﹣3a²=x²+2ax﹣3a²+a²﹣a²=x²+2ax+a²﹣a²﹣3a²=（x+a）²﹣（2a）²=（x+3a）（x﹣a）．
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添项法．
请用上述方法把m²﹣6m+8分解因式．

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五、综合题

22. (2023七下·江阴期中) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ，并指出A与B的大小关系；
2. （2）阅读对B因式分解的方法：
  解： $\text{[math]}$ ．
  
  请完成下面的两个问题：
  
  ①仿照上述方法分解因式： $\text{[math]}$ ；
  
  ②指出A与C哪个大？并说明你的理由．
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23. (2022七下·北仑期中) 几何和代数是密切相关的.
1. （1）如图 1，这是由四个小长方形拼成的大长方形.我们发现：
  $\text{[math]}$
  $\text{[math]}$ 12
  所以得到等式： $\text{[math]}$
  上述等式的变形过程叫.
2. （2）利用图 2，请你仿照上述的过程，请把 $\text{[math]}$ 用两个多项式的乘积表示，直接写出结果.
3. （3）如图3，已有这些小长方形和小正方形.请你利用所有的图形拼出一个大的长方形，并给出一个与（1）中结论类似的等式.
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六、实践探究题

24. 阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式 $\text{[math]}$ 的方法.
第一步：分解二次项系数，2=1×2；
第二步：分解常数项，-3=-1×3=1×(-3)；
第三步：如图所示，验算“交叉相乘之和”：
①1×3+2×(-1)=1；
②1×(-1)+2×3=5；
③1×(-3)+2×1=-1；
④1×1+2×(-3)=-5.
发现③中“交叉相乘之和”的结果为-1，等于一次项系数.
将十字交叉线上的系数对应写在两个相乘的多项式中： $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”.
仿照以上方法分解因式： $\text{[math]}$

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25. “换元”是重要的数学思想，它可以使一些复杂的问题得到简化.
例如：分解因式： $\text{[math]}$
解 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
这里就是把 $\text{[math]}$ 当成一个整体，那么式子 $\text{[math]}$ 可以看成是一个关于 $\text{[math]}$ 的二次多项式，就容易分解.
1. （1）请模仿上面的方法分解因式： $\text{[math]}$
2. （2）在(1)中，若 $\text{[math]}$ 求上式的值.
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26. 要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成组，并提出a，把它的后两项分成组，并提出b，从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n)．这时，由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n)，于是可提公因式(m+ n)，从而得到(m+ n)(a+ b)，因此有am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)= (m+n)(a+b) ．
这种因式分解的方法叫做分组分解法，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解．
1. （1） ab-ac+bc-b²= (ab-ac)+(bc-b²)=a(b-c)- b(b-c)=.
2. （2）因式分解： x²-(p+q)x+pq；
3. （3）因式分解：x²y-4y-2x²+8．
4. （4）已知三角形的三边长分别是a，b，c，且满足a²+2b²+c²=2b(a+c)，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
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27. (2022七下·北仑期中) 阅读下列材料：对于多项式x²＋x﹣2，如果我们把x＝1代入此多项式，发现x²＋x﹣2的值为0，这时可以确定多项式中有因式（x﹣1）；同理，可以确定多项式中有另一个因式（x＋2），于是我们可以得到：x²＋x﹣2＝（x﹣1）（x＋2）.又如：对于多项式2x²﹣3x﹣2，发现当x＝2时，2x²﹣3x﹣2的值为0，则多项式2x²﹣3x﹣2有一个因式（x﹣2），我们可以设2x²﹣3x﹣2＝（x﹣2）（mx＋n），解得m＝2，n＝1，于是我们可以得到：2x²﹣3x﹣2＝（x﹣2）（2x＋1）.
请你根据以上材料，解答以下问题：
1. （1）当x＝时，多项式8x²﹣x﹣7的值为0，所以多项式8x²﹣x﹣7有因式，从而因式分解8x²﹣x﹣7＝；
2. （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式：
  ①3x²＋11x＋10；
  
  ②x³﹣21x＋20
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