湖南省湖湘教育三新探索协作体2023-2024学年高二下学期...

更新时间：2024-08-12 浏览次数：12 类型：期中考试

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求得．

1. (2024高二下·湖南期中) 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，若 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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3. (2024高二下·湖南期中) 根据 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的一组数据求得两个变量之间的经验回归方程为 $\text{[math]}$ ，已知数据 $\text{[math]}$ 的平均值为1.2，则数据 $\text{[math]}$ 的平均值为（）

A . 2.6 B . 2.3 C . 1.8 D . 1.5

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4. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ 为正实数，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 8 D . 6

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5. (2024高二下·湖南期中) $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 上的动点，则点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离最大值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024高二下·湖南期中) 井字棋起源于古希腊，是一种在 $\text{[math]}$ 格子上进行的连珠游戏，其玩法与五子棋类似．两名玩家分别持不同棋子轮流在九个格子中落子，直到某位玩家的三颗棋子在同一条直线上后游戏结束，该玩家获胜．小明与小红进行井字棋游戏，小明执黑棋先下，小红执白棋．若当棋盘上刚好下满5个棋子时游戏结束，则棋盘上的棋子的分布情况共有几种（）

A . 144 B . 120 C . 96 D . 90

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7. (2024高二下·湖南期中) 双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为双曲线右支上的一点，连接 $\text{[math]}$ 交左支于点 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则双曲线的离心率为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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8. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 可作曲线 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的取值范围（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．

9. (2024高二下·湖南期中) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的有（）

A . 等差数列 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ B . 等比数列 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 等差数列，则 $\text{[math]}$ 成等差数列 D . 若 $\text{[math]}$ 等比数列，则 $\text{[math]}$ 成等比数列

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10. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ ，则下列描述正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 除以5所得的余数是1 C . $\text{[math]}$ 中最小为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2024高二下·湖南期中) 正方体 $\text{[math]}$ ，棱长为2，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 当 $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ 时，则点 $\text{[math]}$ 的轨迹长度为 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，过 $\text{[math]}$ 三点的平面与正方体的截面面积的取值范围为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. (2024高二下·湖南期中) 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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13. (2024高二下·湖南期中) 长期用嗓所致的慢性咽喉炎，一直是困扰教师们的职业病．据调查，某校大约有 $\text{[math]}$ 的教师患有慢性咽喉炎，而该校大约有 $\text{[math]}$ 的教师平均每天没有超过两节课，这些人当中只有 $\text{[math]}$ 的教师患有慢性咽喉炎．现从平均每天超过了两节课的教师中任意调查一名教师，则他患有慢性咽喉炎的概率为．

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14. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ 是正项数列，其前 $\text{[math]}$ 项的和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ 表示不超过 $\text{[math]}$ 的最大整数，若 $\text{[math]}$ 恒成立，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15. (2024高二下·湖南期中) 如图，已知 $\text{[math]}$ 为圆柱底面圆的直径， $\text{[math]}$ 为下圆周上的动点， $\text{[math]}$ 为圆柱母线．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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16. (2024高二下·湖南期中) 已知 $\text{[math]}$ ．且 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的解析式与单调递增区间；
2. （2）在锐角 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 对边分别是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长．
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17. (2024高二下·湖南期中) 如图，点 $\text{[math]}$ 在圆 $\text{[math]}$ 上运动且满足 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上方） $\text{[math]}$ 分别为直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点，是否存在实数 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ？说明理由．
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18. (2024高二下·湖南期中) 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：（ⅰ） $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ），其中 $\text{[math]}$ 为组合数；
  （ⅱ）随机变量 $\text{[math]}$ 的数学期望 $\text{[math]}$ ；
2. （2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量 $\text{[math]}$ 表示事件A发生的次数，试探求 $\text{[math]}$ 的值与随机变量 $\text{[math]}$ 最有可能发生次数的大小关系．
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19. (2024高二下·湖南期中) 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的 $\text{[math]}$ 阶导数都存在时， $\text{[math]}$ ．注： $\text{[math]}$ 阶导数指对一个函数进行 $\text{[math]}$ 次求导， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的2阶导数，即为 $\text{[math]}$ 的导数， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 阶导数， $\text{[math]}$ 为自然对数的底数， $\text{[math]}$ ，该公式也称麦克劳林公式．设 $\text{[math]}$ ，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
1. （1）利用泰勒公式求 $\text{[math]}$ 的近似值；（精确到小数点后两位）
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）证明： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为奇数）．
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