2024年浙教版数学七（下）期末复习：解答题压轴题-在线组卷

1. (2023七下·柯桥期末) 定义：若分式 $\text{[math]}$ 与分式 $\text{[math]}$ 的差等于它们的积，即 $\text{[math]}$ ，则称分式N是分式 $\text{[math]}$ 的“互联分式”．如 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“互联分式”．

（1）判断分式 $\text{[math]}$ 与分式 $\text{[math]}$ 是否是“互联分式”，请说明理由；
（2）小红在求分式 $\text{[math]}$ 的“互联分式”时，用了以下方法：
设 $\text{[math]}$ 的“互联分式”为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
请你仿照小红的方法求分式 $\text{[math]}$ 的“互联分式”．
（3）解决问题：
仔细观察第（1）（2）小题的规律，请直接写出实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值，使 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的“互联分式”．

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2. (2023七下·海曙期末) 阅读材料：我们把多项式 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．

例如：分解因式： $\text{[math]}$ ；

又例如：求代数式 $\text{[math]}$ 的最小值：∵ $\text{[math]}$ ，

又∵ $\text{[math]}$ ；

∴当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有最小值，最小值是 $\text{[math]}$ ．

根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：

（1）分解因式： $\text{[math]}$ ．
（2）已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
（3）当 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 时，多项式 $\text{[math]}$ 的最大值．

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3. (2023七下·嵊州期末) 将一副直角三角板 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 如图（1）放置，此时 $\text{[math]}$ 四点在同一条直线上，点A在边 $\text{[math]}$ 上，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数；
（2）将图（1）中的三角板 $\text{[math]}$ 绕点A以每秒 $\text{[math]}$ 的速度，按顺时针方向旋转一定的角度 $\text{[math]}$ 后，记为三角板 $\text{[math]}$ ，设旋转的时间为t秒．
①当旋转至图（2）时，此时 $\text{[math]}$ ，求a的值；
②若在旋转过程中，三角板 $\text{[math]}$ 的某一边恰好与 $\text{[math]}$ 所在的直线平行，直接写出t的值．

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4. (2023七下·金华期末) 如图，已知数轴上点 $\text{[math]}$ 表示的数为12， $\text{[math]}$ 是数轴上位于点 $\text{[math]}$ 左侧一点，且 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ 秒．

（1）数轴上点 $\text{[math]}$ 表示的数是，点 $\text{[math]}$ 表示的数是（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
（2）若 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，在点 $\text{[math]}$ 运动的过程中，线段 $\text{[math]}$ 的长度会发生变化吗？如果不变，请求出这个长度；如果会变化，请用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示这个长度；
（3）动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 处出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 同时出发，问点 $\text{[math]}$ 运动多少秒时与点 $\text{[math]}$ 相距4个单位长度？

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5. (2023七下·诸暨期末) 某工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒(单位cm).

情境	内容	图形
情境1	工厂仓库内现存有35cm×35cm的正方形纸板200张，35cm×50cm的长方形纸板400张，用库存纸板制作两种无盖纸盒.
情境2	库存纸板已用完，采购部重新采购了如图规格的纸板，甲纸板尺寸为50cm×70cm，乙纸板尺寸为35cm×85cm，丙纸板尺寸为35cm×70cm.采购甲纸板有800张，乙纸板有400张，丙纸板有300张．纸板裁剪后可制作两种无盖纸盒.
情境3	某次采购订单中，甲种纸板的采购数量为500张，乙种300张，因采购单被墨水污染，导致丙种纸板的具体数字已经模糊不清，只知道百位和十位数字分别为2和4.

根据以上信息，解决以下问题：

（1）情境1，问两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完?
（2）情境2，问能否通过做适当数量的竖式和横式无盖纸盒，使得纸板的使用率为100%?请通过计算说明理由.
（3）情境3，若本次采购的纸板裁剪做成竖式和横式无盖纸盒，并使得纸板的使用率为100%请你能帮助工厂确定丙纸板的张数.

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6. (2023七下·温州期末) 根据以下素材，探索解决任务.

确定什锦糖的销售量

素材1：某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克.

素材2：商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示.小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元.

素材3：小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖.

问题解决

（1）确定A型单价，每份什锦糖A需要多少元？
（2）确定B型配比，每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？
（3）确定销售量，本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？

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7. (2023七下·鄞州期末) 如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形．

（1）若用不同的方法计算这个边长为 $\text{[math]}$ 的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为．（只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
②若三个实数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

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8. (2023七下·慈溪期末) [阅读材料]分解因式： $\text{[math]}$

解：把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ ，发现此多项式的值为0，由此确定 $\text{[math]}$ 中有因式 $\text{[math]}$ ，可设 $\text{[math]}$ 为常数)，通过展开多项式或代入合适的 $\text{[math]}$ 的值即可求出 $\text{[math]}$ 的值.我们把这种分解因式的方法叫“试根法”.

根据以上阅读材料，完成下列问题：

（1）请完成下列因式分解：
$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；
（2）请你用“试根法”分解因式： $\text{[math]}$ ；
（3） ①若多项式 $\text{[math]}$ 为常数)分解因式后，有一个因式是 $\text{[math]}$ ，求代数式 $\text{[math]}$ 的值；
②若多项式 $\text{[math]}$ 含有因式 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，求mn的值.

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9. (2023七下·北仑期末)

（1）【基础巩固】
如图1，已知 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ；
（2）【尝试应用】
如图2，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是线段 $\text{[math]}$ 上一点． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数；
（3）【拓展提高】
如图3，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E是线段 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

①试求出 $\text{[math]}$ 的度数；

②已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点G是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，连接 $\text{[math]}$ 并延长．

②-1若 $\text{[math]}$ 恰好平分 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与四边形 $\text{[math]}$ 中一边所在直线垂直时， $\text{[math]}$ ▲ ；

②-2如图4，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，与 $\text{[math]}$ 的延长线交于点F，与 $\text{[math]}$ 交于点P，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）．

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10. (2023七下·金东期末) 阅读以下微信群聊，完成任务．

任务一：该“旅行团”有几种打车方案？哪种方案比较划算？

任务二：小胡家的两间“亲子家庭房”共花费多少钱？

任务三：该“旅行团”分别购买了“380”和“580”这两种票价的门票各多少张？

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11. (2023七下·椒江期末) 对于平面直角坐标中的任意两点P，Q，若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为“和合点”，如图1中的P，Q两点即为“和合点”．

（1）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①在上面四点中，与点 $\text{[math]}$ 为“和合点”的是 ▲ ；
②若点 $\text{[math]}$ ，过点F作直线 $\text{[math]}$ 轴，点G直线l上，A、G两点为“和合点”，则点G的坐标为 ▲ ；
③若点 $\text{[math]}$ 在第二象限，点 $\text{[math]}$ 在第四象限，且A、M两点为“和合点”，D、N两点为“和合点”，求a，b的值．
（2）如图2，已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一动点，且满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 轴，若在直线m上存在点S，使得R，S两点为“和合点”，直接写出n的取值范围．

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12. (2023七下·嘉兴期末) 甲、乙两小区准备安装A、B两款智能快递柜，每个 $\text{[math]}$ 款能满足快递需求人数比 $\text{[math]}$ 款多20人.已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有280人、420人.如果甲小区全部安装 $\text{[math]}$ 款智能快递柜，乙小区全部安装 $\text{[math]}$ 款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同.

（1）设每个 $\text{[math]}$ 款能满足快递需求人数为 $\text{[math]}$ 人，求 $\text{[math]}$ 的值.
（2）如果甲小区安装 $\text{[math]}$ 款和 $\text{[math]}$ 款智能快递柜共7个，其中安装 $\text{[math]}$ 款的个数比安装 $\text{[math]}$ 款的2倍还多1个，分别求甲小区 $\text{[math]}$ 款和 $\text{[math]}$ 款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求.
（3）已知购买 $\text{[math]}$ 款需6000元/个，购买 $\text{[math]}$ 款需6800元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由.

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13. (2023七下·海曙期末) 角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：

（1）【知识回顾】
如图1， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线上的一点， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，试证： $\text{[math]}$
（2）【深入探究】
如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的角平分线交于 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 点，其中 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
（3）【应用迁移】
如图3，Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的中线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

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14. (2023七下·余姚期末) 【阅读理解】

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式 $\text{[math]}$ 的大小，只要算 $\text{[math]}$ 的值，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

（1）【知识运用】
请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
（2）试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由；
（3）【拓展运用】
甲、乙两班同学同时从学校沿同一路线到离学校 $\text{[math]}$ 的研学基地参加研学．甲班有一半路程以 $\text{[math]}$ 的速度行进，另一半路程以 $\text{[math]}$ 的速度行进；乙班有一半时间以 $\text{[math]}$ 的速度行进，另一半时间以 $\text{[math]}$ 的速度行进．设甲、乙两班同学从学校到研学基地所用的时间分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
①试用含 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的代数式分别表示 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ▲ ， $\text{[math]}$ ▲ ．
②请你判断甲、乙两班中哪一个班的同学先到达研学基地，并说明理由．

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15. (2023七下·东阳期末) 如图，直线 $\text{[math]}$ ，一副三角尺 $\text{[math]}$ 按如图 $\text{[math]}$ 放置，其中点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在直线 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ．

（1）求 $\text{[math]}$ 的度数．
（2）如图 $\text{[math]}$ ，若将三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 度的速度按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设旋转时间为 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ 在旋转过程中，若边 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．

$\text{[math]}$ 若在三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转的同时，三角形 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 以每秒 $\text{[math]}$ 度的速度按顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 的对应点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 请直接写出当边 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的值．

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16. (2024七下·叙州月考) 新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程 $\text{[math]}$ 的解为 $\text{[math]}$ ，而不等式组 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，不难发现 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的范围内，所以方程 $\text{[math]}$ 是不等式组 $\text{[math]}$ 的“关联方程”．

（1）在方程① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 中，不等式组 $\text{[math]}$ 的“关联方程”是；（填序号）
（2）关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是不等式组 $\text{[math]}$ 的“关联方程”，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
（3）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的不等式组 $\text{[math]}$ 的“关联方程”，且此时不等式组有 $\text{[math]}$ 个整数解，试求 $\text{[math]}$ 的取值范围．

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17. (2023七下·杭州期末) 有 $\text{[math]}$ 个如图 $\text{[math]}$ 的边长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的小长方形，拼成如图 $\text{[math]}$ 的大长方形．

（1）观察图 $\text{[math]}$ ，请你写出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足的等量关系（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ）；
（2）将这 $\text{[math]}$ 个图 $\text{[math]}$ 的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图 $\text{[math]}$ 所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
$\text{[math]}$ 记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的值；

$\text{[math]}$ 若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值．

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18. (2023七下·嘉兴期末) 甲、乙两小区准备安装A、B两款智能快递柜，每个 $\text{[math]}$ 款能满足快递需求人数比 $\text{[math]}$ 款多20人.已知甲、乙两小区有快递需求居民分别有280人、420人.如果甲小区全部安装 $\text{[math]}$ 款智能快递柜，乙小区全部安装 $\text{[math]}$ 款智能快递柜，那么刚好满足两小区所有居民的快递需求且安装个数相同.

（1）设每个 $\text{[math]}$ 款能满足快递需求人数为 $\text{[math]}$ 人，求 $\text{[math]}$ 的值.
（2）如果甲小区安装 $\text{[math]}$ 款和 $\text{[math]}$ 款智能快递柜共7个，其中安装 $\text{[math]}$ 款的个数比安装 $\text{[math]}$ 款的2倍还多1个，分别求甲小区 $\text{[math]}$ 款和 $\text{[math]}$ 款的安装个数，并说明这样安装能否满足甲小区所有居民的快递需求.
（3）已知购买 $\text{[math]}$ 款需6000元/个，购买 $\text{[math]}$ 款需6800元/个，请你帮助乙小区设计一个购买方案，既刚好满足乙小区所有居民的快递需求，又费用最省，并说明理由.

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19. (2023七下·义乌期末) 佛堂古镇的万善浮桥，其夜晚的灯光秀美轮美轮，两岸景观照明还荣获了中国照明学会第十六届照明奖的一等奖.如图1所示，记浮桥两岸所在直线分别为PQ、RS，且PQ∥RS，浮桥上装有两种不同的激光灯A和激光灯B（假设PQ、RS以及由A、B两点发出的光射线始终在同一平面内）.灯A的光射线以2度每秒的速度从射线AQ顺时针旋转至射线AP后继续回转，灯B的光射线以5度每秒的速度从射线BR顺时针旋转到射线BS后也继续回转.当打开激光灯的总开关时，激光灯A和激光灯B同时开始转动.

（1）若购买2盏灯A和4盏灯B共需10万元，购买3盏灯A和2盏灯B共需8.6万元，请问：购买灯A和灯B的单价分别是多少万元？
（2）打开总开关，当灯A的光射线第一次从射线AQ旋转至射线AP的过程中，求灯A和灯B的光射线恰好互相垂直时所需要的时间.
（3）如图2，打开总开关，当灯B的光射线第一次从射线BR旋转至射线BS的过程中，若灯A和灯B的光射线有交点（记为点O），延长BA至点E，作∠EAQ与∠ABO的角平分线并交于点F，求∠F与∠RBO的数量关系.