一元二次方程的应用——北师大版数学九年级上册知识点训练

更新时间：2024-11-08 浏览次数：5 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2024九上·遵义月考) 电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关密不可分的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（）

A . 3（1+x）＝10 B . 3（1+x）²＝10 C . 3+3（1+x）²＝10 D . 3+3（1+x）+3（1+x）²＝10

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2. (2024九上·广州月考) 某校从本学期开始实施劳动教育，在学校靠墙（墙长22米）的一块空地上，开辟出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边用一根长49米的绳子围成，并留1米宽的门，若想开辟成面积为 $\text{[math]}$ 平方米的菜地，则菜地垂直于墙的一边的长为（）

A . 10米 B . 14米 C . 15米 D . 10米或15米

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3. (2024九上·深圳开学考) 如图，用长为 $\text{[math]}$ 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为 $\text{[math]}$ ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 $\text{[math]}$ 上用其他材料做了宽为 $\text{[math]}$ 的两扇小门，若花圃的面积刚好为 $\text{[math]}$ ，则此时花圃 $\text{[math]}$ 段的长为（）m．

A . 4或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 10

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4. (2024九上·广州开学考) 为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“健身杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两个队之间赛一场），现计划安排21场比赛，则邀请的参赛队数是（）

A . 8 B . 7 C . 6 D . 5

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5. (2024九上·江阴月考) 我国古代数学家赵爽（公元 $\text{[math]}$ 世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ 为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是 $\text{[math]}$ ．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $\text{[math]}$ ，因此 $\text{[math]}$ ．则在下面四个构图中，能正确说明方程 $\text{[math]}$ 解法的构图是（）

A . B . C . D .

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6. (2024九上·湖南月考) 古今中外，许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，以方程 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 为例．三国时期数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，其中，大正方形的面积是 $\text{[math]}$ ，它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $\text{[math]}$ ，据此易得 $\text{[math]}$ ．公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，其中，大正方形的面积为 $\text{[math]}$ ，它又等于 $\text{[math]}$ ，据此可得 $\text{[math]}$ ．上述求解过程中所用的数学思想方法是（）

A . 分类讨论思想 B . 数形结合思想 C . 函数方程思想 D . 转化思想

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7. (2024九下·红桥模拟) 某服装店试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间每件服装的销售单价不低于成本，且获得的利润不得高于成本的 $\text{[math]}$ ．经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系 $\text{[math]}$ ．有下列结论：
①销售单价可以是90元；
②该服装店销售这种服装可获得的最大利润为891元；
③销售单价有两个不同的值满足该服装店销售这种服装获得的利润为500元，
其中，正确结论的个数是（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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8. (2011九上·黄冈竞赛) 设a、b是整数，方程x²+ax+b=0的一根是 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 2 B . 0 C . -2 D . -1

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二、填空题

9. (2024九上·珠海月考) 某校要组织一次乒乓球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排2天，每天安排5场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的方程为．

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10. (2024七上·重庆市月考) 如图，有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点，作为第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推，如果n层六边形点阵的总点数为331，则n等于.

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11. (2024九上·阳新月考) 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 如图所示的图形的面积为 24 ，根据图中的条件可求得 $\text{[math]}$ 的值为

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13. (2024八下·哈尔滨期中) 如图，矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为对角线，点E在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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三、解答题

14. (2024九上·临湘月考) 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，现商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
1. （1）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　　件，每件商品盈利　　元（用含x的代数式表示）；
2. （2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
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15. (2024九上·黄陂月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）点P从点A开始沿 $\text{[math]}$ 边向点B以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点Q从点B开始沿 $\text{[math]}$ 边向点C以 $\text{[math]}$ 的速度移动，如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？
2. （2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，点P在 $\text{[math]}$ 边上沿A→B→A的路线以 $\text{[math]}$ 的速度移动，点Q在 $\text{[math]}$ 边上沿B→C→B的路线以 $\text{[math]}$ 的速度移动，且其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接 $\text{[math]}$ ，求经过几秒钟后， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ？
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16. (2024九下·康巴什模拟) 网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中 $\text{[math]}$ ）．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围．
（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价x应定为多少元？
（3）设每天销售该特产的利润为W元，若 $\text{[math]}$ ，求：销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

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17. (2024八下·婺城期中) 根据以下素材，探索完成任务．

如何改造硬纸板制作无盖纸盒？
背景	学校手工社团小组想把一张长 $\text{[math]}$ ，宽 $\text{[math]}$ 的矩形硬纸板，制作成一个高 $\text{[math]}$ ，容积 $\text{[math]}$ 的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于 $\text{[math]}$ （纸板的厚度忽略不计）．
方案	初始方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 $\text{[math]}$ （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
	改进方案：将矩形硬纸板竖着裁剪 $\text{[math]}$ ，横着裁剪 $\text{[math]}$ （阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形．
问题解决
任务1	判断方案	请通过计算判断初始方案是否可行？
任务2	改进方案	改进方案中，当 $\text{[math]}$ 时，求x的值．
任务3	探究方案	当裁剪后能制作成符合要求的纸盒时，求出y与x的等量关系，并写出y的取值范围．

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18. (2023九上·南昌月考) 随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2017年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2019年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．
（1）求2017年底至2019年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2021年底全市汽车拥有量不超过231.96万辆；另据估计，从2020年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10％．假定每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆．

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19. (2024九上·宜都月考) 综合与实践
观察与思考：
规律发现：请用含 $\text{[math]}$ 的式子填空：
（1）第 $\text{[math]}$ 个图案中小圆圈的个数为____________；
（2）第1个图案中小星星的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第2个图案中的小星星的个数可表示为 $\text{[math]}$ ，第3个图案中小星星的个数可表示为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，第 $\text{[math]}$ 个图案中小星星的个数可表示为_____________；
规律应用：
（3）结合图案中小星星的排列方式及上述规律，求正整数 $\text{[math]}$ ，使得连续的偶数之和 $\text{[math]}$ 等于第 $\text{[math]}$ 个图案中小圆圈的个数的4倍．

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20. (2024八下·上城期中)

如何利用闲置纸板箱制作储物盒
素材1	小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体底面尺寸如图2所示．
素材2	下图是利用闲置纸板箱拆解出的以下两种纸板：长方形纸板①和长方形纸板②，其中两种纸板的宽度均为 $\text{[math]}$ ．
	长方形纸板①	长方形纸板②

	小琴将分别利用长方形纸板①和长方形纸板②进行制作无盖和有盖的储物盒．
	长方形纸板①的制作方式	长方形纸板②的制作方式
	裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．	将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．

（1）【任务一：熟悉材料】若要求按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够刚好放入图2储物区域，则裁去小正方形的边长为，长方形纸板宽a的值为．
（2）利用任务1计算所得的数据a ，进行进一步探究．
①【初步应用】按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是 $\text{[math]}$ ，求储物盒的容积．
②【储物收纳】按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为 $\text{[math]}$ ，如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断下列玩具①机械狗；②玩具车能否分别完全放入该储物盒并合上盖子．（不考虑倾斜放入）