勾股定理—北师大版数学八（上）知识点训练

更新时间：2024-10-27 浏览次数：74 类型：复习试卷

一、勾股定理

1. (2024八上·福田开学考) 阅读：勾股定理是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方．用数学语言表达为： $\text{[math]}$ ，根据阅读资料，完成以下题目：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 5 B . 12 C . 17 D . 13

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2. (2024八下·合肥月考) 若一直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长为（）

A . 13 B . $\text{[math]}$ C . 13或15 D . 15

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3. (2024八下·武城月考) 若△ABC中，AB=25cm，AC=26cm，高AD=24，则BC的长为（）

A . 17 B . 3 C . 17或3 D . 以上都不对

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4. (2024八上·坪山期末) 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A ， B ， C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D ，则CD的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2.2 D . 3 $\text{[math]}$

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5. (2024八下·庐江期中) 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为.

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6. (2024八上·绿园期末) 如图，A，B，C是三个正方形，当B的面积为144，C的面积为169时，则A的面积为．

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7. (2021八上·揭阳月考) 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画出图形．
1. （1）在图1中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
2. （2）在图2中，画一个正方形，使它的面积是5．
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8. (2024八上·雅安期末) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上一动点，设 $\text{[math]}$ ．
1. （1）用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 为何值时， $\text{[math]}$ ；
3. （3）代数式 $\text{[math]}$ 是否有最小值，若有请求出最小值，若没有请说明理由
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9. (2023八上·绥德月考) 分析探索题：细心观察如图所示的图形，认真分析各式，然后解答问题．

      $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

      $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；

      $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）请用含n（n为正整数）的等式表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）推算出 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）求出 $\text{[math]}$ 的值．
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10. (2023八上·邛崃月考) 阅读材料，解决问题：
我们可以在网格纸中通过构造三角形的方法来比较无理数的大小，例如在图1中，正方形网格纸中，每个小正方形的边长都是1，线段AB的长度为 $\text{[math]}$ ，线段BC的长度为 $\text{[math]}$ ，显然， $\text{[math]}$ ．
1. （1）试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由；
2. （2）请在图2中尝试用构造图形的方法比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，在图3中尝试用构造图形的方法比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小；
3. （3）请运用以上的构图思想，在图4中构图，并求出 $\text{[math]}$ 的最小值．
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二、勾股定理的逆定理

11. (2024八下·盐山期中) 在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（　　）

A . B . C . D .

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12. (2024八下·南宁月考) 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（　　）

A . 4，5，6 B . 3，4，5 C . 2，3，4 D . 1，2，3

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13. (2024八下·永丰期末) 下列条件：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ，能判定 $\text{[math]}$ 是直角三角形的有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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14. (2024八下·上思月考) 若一个三角形的三边满足 $\text{[math]}$ ，则这个三角形是。

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15. (2023八上·坪山期中) 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC=12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC、DB ，且CD＝4，BD=3.
1. （1）求BC的长；
2. （2）求证：△BCD是直角三角形．
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16. (2021八上·清新期中) 阅读理解，在平面直角坐标系中，P₁(x₁ ， y₁)，P₂(x₂ ， y₂)，如何求P₁P₂的距离．
如图1，作Rt△P₁P₂Q，在Rt△P₁P₂Q中， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．因此，我们得到平面上两点P₁(x₁ ， y₁)，P₂(x₂ ， y₂)之间的距离公式为 $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ．
根据上面得到的公式，解决下列问题：
1. （1）已知平面两点A(－3，4)，B(5，10)，求AB的距离；
2. （2）若平面内三点A(－2，2)，B(5，－2)，C(1，4)，试判断△ABC的形状，说明理由；
3. （3）如图2，在有对称美的正方形AOBC中，A(－4，3)，点D在OA边上，且D(－1， $\text{[math]}$ )，直线l经过O，C两点，点E是直线l上的一个动点，求DE＋EA的最小值．
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三、勾股数

17. (2024八下·祁阳期中) 判断下列几组数中，一定是勾股数的是（　　）

A . 1， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . 8，15，17 C . 7，14，15 D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， 1

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18. (2024八下·斗门期中) 有一组勾股数，其中的两个分别是8和17，则第三个数是

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19. (2024八下·西华月考) 阅读：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a，b，c，称为勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》，其勾股数组公式为： $\text{[math]}$ 其中m＞n＞0，m，n是互质的奇数．
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长．

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四、勾股定理的证明

20. (2021八上·高州月考) 我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）

A . B . C . D .

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21. (2021八上·顺德期末) 下面图形能够验证勾股定理的有（　　）个

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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22. (2019八上·即墨期中) 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是把图1放入长方形内得到的， $\text{[math]}$ ，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为．

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23. (2023八上·南海月考) 问题再现：
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
1. （1）如图①，是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式：______；
2. （2）如图②，是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形，点B、E、C在同一条直线上，请根据图②证明勾股定理．
3. （3）如图③，如果以 $\text{[math]}$ 的三边长a，b，c为直径向外作半圆，半圆的面积分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，试猜想 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 之间存在的等量关系______；并说明理由．
4. （4）如图④，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，三边分别为5、12、13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图④中阴影部分的面积．
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24. (2024八上·紫金期末) 如图， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）判断线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的数量关系，并说明理由；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，利用此图证明勾股定理.
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25. (2024八上·南宁期末) 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式．
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成，请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积．
  方法 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ；方法 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ；根据以上信息，可以得到的等式是；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，大正方形是由四个边长分别为 $\text{[math]}$ 的直角三角形（ $\text{[math]}$ 为斜边）和一个小正方形拼成，请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到 $\text{[math]}$ 之间的数量关系；
3. （3）在（ $\text{[math]}$ ）的条件下，若 $\text{[math]}$ ，求斜边 $\text{[math]}$ 的值．
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