江苏省合作联盟学校2020届高三下学期数学4月模拟试卷

更新时间：2020-07-21 浏览次数：132 类型：高考模拟

一、填空题

1. (2020·江苏模拟) 满足 $\text{[math]}$ 的复数z在复平面上对应的点构成的图形的面积为.

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2. (2020·江苏模拟) 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500~600小时的电子元件的数量为.

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3. (2020·江苏模拟)
根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为 .

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4. (2020·南通模拟) 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线 $\text{[math]}$ 上方的概率为.

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5. (2020·江苏模拟) 若圆锥的高是底面半径和母线的等比中项，则称此圆锥为“黄金圆锥”，已知一黄金圆锥的侧面积为 $\text{[math]}$ ，则这个圆锥的高为.

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6. (2020·江苏模拟) 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a² ， b² ， c²成等差数列，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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7. (2020·江苏模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线与 $\text{[math]}$ 轴的交点的横坐标为 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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8. (2020·江苏模拟) 关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ ，则关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集为.

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9. (2020·江苏模拟) 记S_k＝1^k+2^k+3^k+……+n^k ，当k＝1，2，3，……时，观察下列等式：S₁ $\text{[math]}$ n² $\text{[math]}$ n，S₂ $\text{[math]}$ n³ $\text{[math]}$ n² $\text{[math]}$ n，S₃ $\text{[math]}$ n⁴ $\text{[math]}$ n³ $\text{[math]}$ n² ， ……S₅＝An⁶ $\text{[math]}$ n⁵ $\text{[math]}$ n⁴+Bn² ， …可以推测，A﹣B＝．

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10. (2020·江苏模拟) 设P为y $\text{[math]}$ x²﹣2图象C上任意一点，l为C在点P处的切线，则坐标原点O到l距离的最小值为.

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11. (2020·江苏模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若∃x₁ ， x₂∈R，x₁≠x₂ ，使得f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是．

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12. (2020·江苏模拟) 直线 $\text{[math]}$ 与圆心为 $\text{[math]}$ 的圆 $\text{[math]}$ 交于A，B两点，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的倾斜角分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2020·江苏模拟) 在平面直角坐标系xOy中，直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆 $\text{[math]}$ 上，其中A（0，1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为 $\text{[math]}$ ，则实数a的值为．

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14. (2020·江苏模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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二、解答题

15. (2020·江苏模拟) 如图甲，在平面四边形ABCD中，已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD $\text{[math]}$ 平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．

（Ⅰ）求证：DC $\text{[math]}$ 平面ABC；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，求三棱锥A－BFE的体积．

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16. (2020·江苏模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的图象与 $\text{[math]}$ 轴的相邻两个交点之间的距离为 $\text{[math]}$ ，且图象上一个最低点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值及相应的x的值.
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17. (2020·江苏模拟) 如图，某校打算在长为1千米的主干道 $\text{[math]}$ 一侧的一片区域内临时搭建一个强基计划高校咨询和宣传台，该区域由直角三角形区域 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为直角）和以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆形区域组成，点P（异于B，C）为半圆弧上一点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且满足 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .初步设想把咨询台安排在线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上，把宣传海报悬挂在弧 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 上.
1. （1）若为了让学生获得更多的咨询机会，让更多的省内高校参展，打算让 $\text{[math]}$ 最大，求该最大值；
2. （2）若为了让学生了解更多的省外高校，贴出更多高校的海报，打算让弧 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ 的长度之和最大，求此时的 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2020·江苏模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，椭圆C的上、下顶点分别为A₁ ， A₂ ，左、右顶点分别为B₁ ， B₂ ，左、右焦点分别为F₁ ， F₂.原点到直线A₂B₂的距离为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆C的方程；
2. （2） P是椭圆上异于A₁ ， A₂的任一点，直线PA₁ ， PA₂ ，分别交x轴于点N，M，若直线OT与以MN为直径的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值，并求出该定值.
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19. (2020·江苏模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$
1. （1）当函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 时为减函数，求a的范围；
2. （2）若a=e(e为自然对数的底数）；
  ①求函数g(x)的单调区间；
  
  ②证明： $\text{[math]}$
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20. (2020·江苏模拟) 设数列{a_n}，对任意n∈N^*都有（kn+b）（a₁+a_n）+p＝2（a₁+a₂…+a_n），（其中k、b、p是常数）.
1. （1）当k＝0，b＝3，p＝﹣4时，求a₁+a₂+a₃+…+a_n；
2. （2）当k＝1，b＝0，p＝0时，若a₃＝3，a₉＝15，求数列{a_n}的通项公式；
3. （3）若数列{a_n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当k＝1，b＝0，p＝0时，设S_n是数列{a_n}的前n项和，a₂﹣a₁＝2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a_n}，使得对任意n∈N^* ，都有S_n≠0，且 $\text{[math]}$ .若存在，求数列{a_n}的首项a₁的所有取值；若不存在，说明理由.
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21. (2020·江苏模拟) 已知矩阵 $\text{[math]}$ .
1. （1）求矩阵M的特征值和特征向量；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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22. (2020·江苏模拟) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （t为参数），点A（1，0），B（3， $\text{[math]}$ ），若以直角坐标系xOy的O点为极点，x轴正方向为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系.
1. （1）求直线AB的极坐标方程；
2. （2）求直线AB与曲线C交点的极坐标.
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23. (2020·江苏模拟) 过直线y＝﹣1上的动点A（a，﹣1）作抛物线y＝x²的两切线AP，AQ，P，Q为切点.
1. （1）若切线AP，AQ的斜率分别为k₁ ， k₂ ，求证：k₁•k₂为定值.
2. （2）求证：直线PQ过定点.
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24. (2020·江苏模拟) 对有 $\text{[math]}$ 个元素的总体 $\text{[math]}$ 进行抽样，先将总体分成两个子总体 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是给定的正整数，且 $\text{[math]}$ ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用 $\text{[math]}$ 表示元素 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 同时出现在样本中的概率.
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的表达式（用m，n表示）；
2. （2）求所有 $\text{[math]}$ 的和.
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