高中数学人教新课标A版选修2-1 3.2立体几何中的向量...

更新时间：2020-09-21 浏览次数：458 类型：同步测试

一、单选题

1. 如图，在长方体 $\text{[math]}$ 中，M，N分别是棱BB₁ ， B₁C₁的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD₁和DM所成角为（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

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2. (2020高二下·济南月考) 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁= $\text{[math]}$ ，则AA₁与平面AB₁C₁所成的角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2019高二上·西安月考) 已知两平面的法向量分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则两平面所成的二面角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2020高一下·大庆期末) 在四面体 $\text{[math]}$ 中，已知棱 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ，其余各棱长都为1，则二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2019高二上·汇川期中) 正方体ABCD—A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN所成角的大小为（）

A . 0° B . 45° C . 60 ° D . 90°

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6. (2019高一上·项城月考) 如图所示，将等腰直角△ABC沿斜边BC上的高AD折成一个二面角，使得∠B′AC＝60°．那么这个二面角大小是（）

A . 30° B . 60° C . 90° D . 120°

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7. (2020高二下·杭州期末) 如图，直三棱柱 $\text{[math]}$ 的底面是边长为6的等边三角形，侧棱长为2，E是棱BC上的动点，F是棱 $\text{[math]}$ 上靠近 $\text{[math]}$ 点的三分点，M是棱 $\text{[math]}$ 上的动点，则二面角 $\text{[math]}$ 的正切值不可能是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2019高二上·余姚期中) 如图，三棱柱 $\text{[math]}$ 满足棱长都相等且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，D是棱 $\text{[math]}$ 的中点，E是棱 $\text{[math]}$ 上的动点．设 $\text{[math]}$ ，随着x增大，平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角是（）

A . 先增大再减小 B . 减小 C . 增大 D . 先减小再增大

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9. (2019高二上·长春月考) 如图，正四棱锥S-ABCD中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（）

A . 30° B . 45° C . 60° D . 90°

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10. (2019·浙江模拟) 已知正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则过点 $\text{[math]}$ 与侧面 $\text{[math]}$ 和底面 $\text{[math]}$ 所在平面都成 $\text{[math]}$ 的平面共有（）（注：若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角也为 $\text{[math]}$ ）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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11. (2018·浙江学考) 如图，设矩形 ABCD 所在的平面与梯形 ACEF 所在平面交于 AC ，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则下面二面角的平面角大小为定值的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2020高二下·宁波期中) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P在平面 $\text{[math]}$ 的射影O为 $\text{[math]}$ 的中点，D是 $\text{[math]}$ 上的动点，M，N是 $\text{[math]}$ 的两个三等分点， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ），记二面角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的平面角分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. (2020高一下·通州期末) 棱长相等的三棱锥的任意两个面组成的二面角的余弦值是．

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14. (2020高二下·上海期末) 将边长为1的正方形 $\text{[math]}$ 沿对角线 $\text{[math]}$ 折叠，使得点B和D的距离为1，则二面角 $\text{[math]}$ 的大小为.

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15. (2019高三上·杨浦期中) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角等于．

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16. (2019·浙江模拟) 四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角 $\text{[math]}$ 的平面角大小为 $\text{[math]}$ ，若动点Q的轨迹将ABCD分成面积为 $\text{[math]}$ 的两部分，则 $\text{[math]}$ =．

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三、解答题

17. (2020·江苏) 在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD= $\text{[math]}$ ，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．
1. （1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
2. （2）若点F在BC上，满足BF= $\text{[math]}$ BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
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18. (2019高三上·扬州月考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .D是线段 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的大小的余弦值.
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19. (2020·吴中模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求棱 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角的大小；
2. （2）在棱 $\text{[math]}$ 上确定一点 $\text{[math]}$ ，使二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ .
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20. (2020·南通模拟) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）设 $\text{[math]}$ ，异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若点D是 $\text{[math]}$ 的中点，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. (2020·吴江模拟) 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，E为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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22. (2020高一下·苏州期末) 如图所示，等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为3，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使二面 $\text{[math]}$ 为二面角，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值；
2. （2）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为60°？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的长；若不存在，请说明理由．
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