高中数学2021年全国高等学校招生统一考试模拟试卷

数学考试

更新时间：2021-03-09 浏览次数：205 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2020高三上·常州期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2020高三上·泰州期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2020高三上·长沙月考) 函数 $\text{[math]}$ 的部分图象大致为（）

A . B . C . D .

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4. (2020高三上·常州期末) 当复数 $\text{[math]}$ 时，实数 $\text{[math]}$ 的值可以为（）

A . 0 B . 1 C . -1 D . ±1

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5. (2020高三上·湖南月考) 如图，在半径为2的扇形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是弧 $\text{[math]}$ 上的一个三等分点， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 4 D . $\text{[math]}$

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6. (2020高一下·成都期末) 在矩形ABCD中，AB=2BC=2，点P在CD边上运动(如图甲)，现以AP为折痕将 $\text{[math]}$ 折起，使得点D在平面ABCP内的射影 $\text{[math]}$ 恰好落在AB边上(如图乙)．设 $\text{[math]}$ 二面角D-AP-B的余弦值为 $\text{[math]}$ ，则函数 $\text{[math]}$ 的图象大致是（）

A . B . C . D .

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7. (2020高二上·中山月考) 正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，若灯口直径是 $\text{[math]}$ ，灯深 $\text{[math]}$ ，则光源到反光镜顶点的距离是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2020高二上·南京期末) 自2010年以来，一、二、三线的房价均呈现不同程度的上升趋势，以房养老、以房为聘的理念深入人心，使得各地房产中介公司的交易数额日益增加．现将 $\text{[math]}$ 房产中介公司2010-2019年4月份的售房情况统计如图所示，根据2010-2013年，2014-2016年，2017-2019年的数据分别建立回归直线方程 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2020高三上·广东月考) 太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，设圆O： $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 是圆O的一个太极函数 B . 圆O的所有非常数函数的太极函数都不能为偶函数 C . 函数 $\text{[math]}$ 是圆O的一个太极函数 D . 函数 $\text{[math]}$ 的图象关于原点对称是 $\text{[math]}$ 为圆O的太极函数的充要条件

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10. (2020高三上·郧县月考) 设 $\text{[math]}$ 是无穷数列，若存在正整数k，使得对任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是间隔递增数列，k是 $\text{[math]}$ 的间隔数，下列说法正确的是（）

A . 公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B . 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是间隔递增数列 C . 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是2 D . 已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 $\text{[math]}$

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11. (2020高二上·南京月考) 如图，在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，D，E，F分别为AC， $\text{[math]}$ ，AB的中点．则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与EF相交 B . $\text{[math]}$ 平面DEF C . EF与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到平面DEF的距离为 $\text{[math]}$

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12. (2021·朝阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在唯一零点，下列说法正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上递增 B . $\text{[math]}$ 图象关于点 $\text{[math]}$ 中心对称 C . 任取不相等的实数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. (2020高一下·开封期末) 雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对部分参与人员采访.决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为；

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14. (2020高三上·邯郸期末) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中的常数项为60，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2020高三上·上海期中) 函数 $\text{[math]}$ 的部分图像，如图所示，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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16. (2020高二上·临沂期中) 已知圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，从点 $\text{[math]}$ 发出的光线，经直线 $\text{[math]}$ 反射后，恰好经过圆心 $\text{[math]}$ ，则入射光线的斜率为.

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四、解答题

17. (2020高三上·兴宁期末) 设 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 取最小值时，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. (2020高三上·泰州期末) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，各项均为正数的等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， ▲ ，且 $\text{[math]}$ .
在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答.
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
  注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
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19. (2020高三上·邯郸期末) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 是等腰梯形 $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为60°，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积.
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20. (2020高三上·上高月考) 某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．

组别

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

频数

25

150

200

250

225

100

50
1. （1）已知此次问卷调查的得分 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案.
  （ⅰ）得分不低于 $\text{[math]}$ 的可以获赠 $\text{[math]}$ 次随机话费，得分低于 $\text{[math]}$ 的可以获赠 $\text{[math]}$ 次随机话费；
  
  （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.
  
  赠送的随机话费/元
  
  20
  
  40
  
  概率
  
  $\text{[math]}$
  
  $\text{[math]}$
  
  现市民甲要参加此次问卷调查，记 $\text{[math]}$ 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望．
  
  附： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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21. (2020高三上·长沙月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆上一点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交椭圆(异于椭圆顶点)于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，试判断 $\text{[math]}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
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22. (2020高三上·南京月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 的极大值为1，
  ①若 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ；
  
  ②设 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 零点个数，并说明理由.
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