2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷·A卷

数学

更新时间：2021-07-30 浏览次数：652 类型：高考模拟

一、单选题

1. (2021高三上·静海月考) 设 $\text{[math]}$ 则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. (2021·靖远模拟) 在古印度的数学著作《丽拉沃蒂》中，有这样一个问题：某人给一个人布施，初日施3德拉玛(古印度货币单位)，其后日增2德拉玛，共布施360德拉玛，请快告诉我，他布施了几日？这个问题的答案是（）

A . 9 B . 18 C . 20 D . 24

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3. (2021·安徽模拟) 将函数 $\text{[math]}$ 的图象沿 $\text{[math]}$ 轴向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，则 $\text{[math]}$ 的一个极值点可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2021·江西模拟) 黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体得比值等于较小部分与较大部分得比值，该比值为 $\text{[math]}$ ，这是公认的最能引起美感的比例．黄金分割比例得值还可以近似地表示为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的近似值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . $\text{[math]}$

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5. (2022高二下·临渭期末) 北斗导航系统由55颗卫星组成，于2020年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民辨别方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，则玉衡和天权至少一颗被选中的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·长安模拟) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2020·朝阳模拟) 关于函数 $\text{[math]}$ ，有以下三个结论：①函数恒有两个零点，且两个零点之积为 $\text{[math]}$ ；②函数的极值点不可能是 $\text{[math]}$ ；③函数必有最小值.其中正确结论的个数有（）

A . 0个 B . 1个 C . 2个 D . 3个

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8. (2021·上虞模拟) 已知双曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与双曲线的左支交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，设双曲线的离心率为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2021高二下·河北期末) 下列说法正确的是（）．

A . 若事件A，B发生的概率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 将两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学恰好相邻的概率为 $\text{[math]}$ C . 若随机变量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若随机变量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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10. (2021·如皋模拟) 已知声音是由物体振动产生的声波．其中包含着正弦函数或余弦函数，而纯音的数学模型是函数 $\text{[math]}$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个周期 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有7个零点 C . $\text{[math]}$ 的最大值为3 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数

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11. (2020高二上·东莞期末) 设等比数列 $\text{[math]}$ 的公比为 $\text{[math]}$ ，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，前 $\text{[math]}$ 项积为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 中的最大项 D . $\text{[math]}$

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12. (2021高二下·海南期末) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 焦点与双曲线点 $\text{[math]}$ 的一个焦点重合，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，则（）

A . 双曲线的离心率为2 B . 双曲线的渐近线为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 点 $\text{[math]}$ 到抛物线焦点的距离为6

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三、填空题

13. (2021·浦东模拟) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =．

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14. (2024高一下·江西期末) i是虚数单位，若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则实数 $\text{[math]}$ 的值为.

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15. (2021高二下·杭州期中) 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中二项式系数之和是256，则 $\text{[math]}$ ；展开式中的常数项是．

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16. (2021·嘉定模拟) 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是 $\text{[math]}$ ，接下来的两项是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，再接下来的三项是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，依此类推，若该数列的前n项和为2的整数幂，如 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中的 $\text{[math]}$ 为“一对佳数”，当 $\text{[math]}$ 时，首次出现的“一对佳数”是.

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四、解答题

17. (2021·洛阳模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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18. (2021·陕西模拟) 为了迎接北京冬奥会，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取100名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为2：3，抽取的学生中男生有20名对讲座活动满意，女生中有20名对讲座活动不满意．

附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

$\text{[math]}$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$\text{[math]}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（1）完成 $\text{[math]}$ 列联表，并回答能否有90%的把握认为“对讲座活动是否满意与性别有关”；

	满意	不满意	合计
男生
女生
合计			100

（2）从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用分层抽样抽取6名学生，再在这6名学生中抽取2名学生，谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中1名男生与1名女生的概率．

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19. (2021高二下·辽宁月考) 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成问题的解答（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）．
已知等差数列 $\text{[math]}$ 前n项和为 $\text{[math]}$ ，且满足_______，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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20. (2020高二上·嘉兴期末) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其离心率为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆E上.
1. （1）求椭圆E的标准方程；
2. （2）经过椭圆E的左焦点 $\text{[math]}$ 作斜率之积为 $\text{[math]}$ 的两条直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆E于A，B，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆E于C，D，G，H分别是线段AB，CD的中点，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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21. (2022高一下·广州期中) 已知O为坐标原点，对于函数 $\text{[math]}$ ，称向量 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量，同时称函数 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数.
1. （1）设函数 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量， $\text{[math]}$ ，请问在 $\text{[math]}$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\text{[math]}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
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22. (2021·四川模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）是否存在正数 $\text{[math]}$ 使得关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上恰有两个不等实数根？如果有，求出 $\text{[math]}$ 的取值范围；如果没有，请说明理由．
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