高中数学人教A版（2019）选择性必修一立体几何与空间向量章...

更新时间：2021-09-08 浏览次数：213 类型：单元试卷

一、单选题

1. (2020高三上·青岛期末) 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ 是一条直线，以下结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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2. (2021·肥城模拟) 如图， $\text{[math]}$ 为圆锥底面直径，点 $\text{[math]}$ 是底面圆 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的动点，已知 $\text{[math]}$ ，圆锥侧面展开图是圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021高一下·深圳期中) 阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），球的体积是圆柱体积的三分之二，球的表面积也是圆柱表面积的三分之二．今有一“圆柱容球”模型，其圆柱表面积为 $\text{[math]}$ ，则该模型中球的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . 4π C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2019·江南模拟) 如图所示，正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.则下列叙述中正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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5. (2013·山东理) 已知三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，体积为 $\text{[math]}$ ，底面是边长为 $\text{[math]}$ 的正三角形，若P为底面A₁B₁C₁的中心，则PA与平面A₁B₁C₁所成角的大小为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·泰安模拟) 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.例如，堑堵指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，当阳马 $\text{[math]}$ 的体积最大时，堑堵 $\text{[math]}$ 中异面直线 $\text{[math]}$ 所成角的大小是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2019高三上·临沂期中) 如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AM⊥平面A₁BD，垂足为M，以下四个结论中正确的个数为（）

①AM垂直于平面CB₁D₁；②直线AM与BB₁所成的角为45°；③AM的延长线过点C₁；④直线AM与平面A₁B₁C₁D₁所成的角为60°

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. (2019高三上·台州期末) 如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M为AB的中点，将△ADM沿DM翻折．在翻折过程中，当二面角A—BC—D的平面角最大时，其正切值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. (2020·枣庄模拟) 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A . 对于任意给定的点P，存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ B . 对于任意给定的点Q，存在点 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$

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10. (2021·青岛模拟) 在南方不少地区，经常看到人们头戴一种用木片、竹篾或苇蒿等材料制作的斗笠，用来遮阳或避雨，随着旅游和文化交流活动的开展，斗笠也逐渐成为一种时尚旅游产品.有一种外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”，根据人的体型、高矮等制作成大小不一的型号供人选择使用，不同型号的斗笠大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆直径长）两个指标进行衡量，现有一个“灯罩斗笠”，帽坡长20厘米，帽底宽 $\text{[math]}$ 厘米，关于此斗笠，下面说法正确的是（）

A . 斗笠轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为 $\text{[math]}$ B . 过斗笠顶点和斗笠侧面上任意两母线的截面三角形的最大面积为 $\text{[math]}$ 平方厘米 C . 若此斗笠顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为 $\text{[math]}$ 平方厘米 D . 此斗笠放在平面上，可以盖住的球（保持斗笠不变形）的最大半径为 $\text{[math]}$ 厘米

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11. (2020高三上·泰安期末) 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上的动点．则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的范围为 $\text{[math]}$ D . 二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$

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12. (2024高一下·深圳期中) 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为1，动点E在线段 $\text{[math]}$ 上，F、M分别是AD、CD的中点，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 存在点E，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值

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三、填空题

13. (2021·淄博模拟) 已知某圆锥底面圆的半径 $\text{[math]}$ ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.

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14. (2018·榆林模拟) 设 $\text{[math]}$ 是不同的直线， $\text{[math]}$ 是不同的平面，则下列命题正确的是．
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交.
④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .

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15. (2019·淄博模拟) 如图所示，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形 $\text{[math]}$ 为正方形，且 $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为．

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16. (2020·威海模拟) 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在体积为 $\text{[math]}$ 的鳖臑 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该鳖臑外接球的表面积为．

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四、解答题

17. (2021·济南模拟) 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ 为等边三角形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；点 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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18. (2021·潍坊模拟) 已知多面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正方形，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值.
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19. (2021·淄博模拟) 在图1所示的平面图形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为折痕将 $\text{[math]}$ 折起得到四棱锥 $\text{[math]}$ （如图2）．
1. （1）设平面 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，在四棱雉 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 上求一点 $\text{[math]}$ ，使直线 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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20. (2021·泰安模拟) 如图，在三棱柱 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. (2021·潍坊模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为底边的等腰三角形，将 $\text{[math]}$ 绕 $\text{[math]}$ 转动到 $\text{[math]}$ 位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）在① $\text{[math]}$ ，②点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为3，③直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为60°这三个条件中选择两个作为已知条件，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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22. (2021·肥城模拟) 已知三棱柱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点.
1. （1）试确定线段 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）在（1）的条件下，若平面 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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