2023-2024学年高中数学人教A版选修二 5.3 导数在...

更新时间：2023-09-10 浏览次数：111 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023高三下·吉林) 已知 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的交点，且两条曲线在点 $\text{[math]}$ 处的切线重合，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·黄埔) 已知可导函数 $\text{[math]}$ 的导函数为 $\text{[math]}$ ，若对任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为奇函数，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高三上·白山) 已知定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数 $\text{[math]}$ ，其导函数为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则不等式 $\text{[math]}$ 的解集是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023高三下·梅河口月考) 若函数 $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023·嵊州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. (2023·上虞模拟) 已知正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2022高三上·白山) 关于函数 $\text{[math]}$ ，有如下列结论：①函数 $\text{[math]}$ 有极小值也有最小值；②函数 $\text{[math]}$ 有且只有两个不同的零点；③当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恰有三个实根；④若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023高三下·梅河口月考) 已知 $\text{[math]}$ 则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

9. (2023·义乌模拟) 已知拋物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 均在抛物线 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率可能为 $\text{[math]}$ B . 线段 $\text{[math]}$ 长度的最小值为 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ 三点共线，则存在唯一的点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点 D . 若 $\text{[math]}$ 三点共线，则存在两个不同的点 $\text{[math]}$ ，使得点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点

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10. (2023·上虞模拟) 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数 $\text{[math]}$ ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 则下列结论中正确的为（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数 B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2025·) 函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为减函数，则 $\text{[math]}$ B . 若函数 $\text{[math]}$ 的对称中心为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ 有三个根 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，若过点 $\text{[math]}$ 可作曲线 $\text{[math]}$ 的三条切线，则 $\text{[math]}$

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12. (2023·柯桥模拟) 若函数 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的导函数，且对于任意实数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 不可能为奇函数 B . 存在实数M，使得 $\text{[math]}$ C . 存在实数N，使得 $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 不存在零点

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三、填空题

13. (2023高三下·梅河口月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上存在零点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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14. (2023·义乌模拟) 若存在直线 $\text{[math]}$ 既是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线，则实数 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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15. (2023·上虞模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有零点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为.

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16. (2022高三上·白山) 已知 $\text{[math]}$ ，若关于x的方程 $\text{[math]}$ 有3个不同实根，则实数 $\text{[math]}$ 取值范围为．

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四、解答题

17. (2023·黄埔) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）讨论函数 $\text{[math]}$ 的零点个数．
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18. (2022高三上·白山) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间与极值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有解，求实数a的取值范围.
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19. (2022高三上·白山) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 为曲线 $\text{[math]}$ 的切线，且经过原点，求直线 $\text{[math]}$ 的方程及切点坐标．
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20. (2022高三上·白山) 已知：函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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21. (2023·北京卷) 设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的极值点个数．
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22. (2023·全国甲卷) 已知 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．
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23. (2022高三上·白山) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数b的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ．
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