高中数学三轮复习（直击痛点）：专题2基本不等式的综合问题

更新时间：2024-01-26 浏览次数：22 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2023高二下·汕头期末) 已知椭圆方程 $\text{[math]}$ 是其左焦点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆内一点，点 $\text{[math]}$ 是椭圆上任意一点，若 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为 $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . 8 D . $\text{[math]}$

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2. (2023高一下·深圳期中) 过 $\text{[math]}$ 的重心 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 分别交线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022高一上·海陵期中) 《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）

A . a²+b²≥2ab（a＞0，b＞0） B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0） D . $\text{[math]}$ （a＞0，b＞0）

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4. (2019高二上·寿光月考) 正数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高二下·钦州期末) 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，（i＝1，2…，n），且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 最大值为（）

A . 1 B . 2 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

6. (2023高三上·遵义月考) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列选项正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ . C . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

7. (2023高二上·湖北月考) 设点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上的动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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8. (2022高二上·浙江期中) 在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 中的射影是 $\text{[math]}$ 的垂心，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积之和为4，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球表面积的最小值为．

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9. (2021高三上·辽宁月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若对任意的正数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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10. (2019高二上·湖北期中) 从椭圆 $\text{[math]}$ 上的动点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴和 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最小值是．

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11. 若实数a，b，c满足a²+b²+c²=1，则3ab﹣3bc+2c²的最大值为

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四、解答题

12. (2022高二下·河池期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 的解集包含集合 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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13. (2024高三上·台州模拟) 设 $\text{[math]}$
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求整数 $\text{[math]}$ 的最大值．（参考数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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14. (2023高三上·成都开学考) 已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．
1. （1）当m＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；
2. （2）若f（x）＞﹣m，求实数m的取值范围．
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15. △ABC的三个内角为A，B，C及其三边a，b，c，且A，B，C成等差数列，
1. （1）若a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形；
2. （2）用分析法证明： $\text{[math]}$ ．
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16. (2023高三上·邵阳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，判断函数 $\text{[math]}$ 的单调性，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 恒成立.
  （i）求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  （ⅱ）证明： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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17. (2023高二下·韩城期末) 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的最小值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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18. 设a₁ ， a₂ ， a₃为正数，求证： $\text{[math]}$ .

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19. (2020高二上·福建期中) 某工厂新研发了一种产品，该产品每件成本为5元，将该产品按事先拟定的价格进行销售，得到如下数据：

单价 $\text{[math]}$ （元）

8

8.2

8.4

8.6

8.8

9

销量 $\text{[math]}$ （件）

90

84

83

80

75

68

参考公式： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求销量 $\text{[math]}$ （件）关于单价 $\text{[math]}$ （元）的线性回归方程 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若单价定为10元，估计销量为多少件；
3. （3）根据销量 $\text{[math]}$ 关于单价 $\text{[math]}$ 的线性回归方程，要使利润 $\text{[math]}$ 最大，应将价格定为多少？
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20. (2022·焦作模拟) 已知正实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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21. (2022高二下·南阳月考) 已知f(n)＝1＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ＋ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ － $\text{[math]}$ ， n∈N^*.
1. （1）当n＝1，2，3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系；
2. （2）猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．
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22. (2019高二下·六安月考) 设 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，化简： $\text{[math]}$ ；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小.
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23. (2022·上海) 已知函数 $\text{[math]}$ ，甲变化： $\text{[math]}$ ；乙变化： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经甲变化得到 $\text{[math]}$ ，求方程 $\text{[math]}$ 的解；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 经乙变化得到 $\text{[math]}$ ，求不等式 $\text{[math]}$ 的解集；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，将 $\text{[math]}$ 先进行甲变化得到 $\text{[math]}$ ，再将 $\text{[math]}$ 进行乙变化得到 $\text{[math]}$ ；将 $\text{[math]}$ 先进行乙变化得到 $\text{[math]}$ ，再将 $\text{[math]}$ 进行甲变化得到 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ ，总存在 $\text{[math]}$ 成立，求证： $\text{[math]}$ 在R上单调递增.
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24. (2013·湖北理) 设n是正整数，r为正有理数．
1. （1）求函数f（x）=（1+x）^r+1﹣（r+1）x﹣1（x＞﹣1）的最小值；
  （参考数据： $\text{[math]}$ ．
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）设x∈R，记[x]为不小于x的最小整数，例如 $\text{[math]}$ ．令 $\text{[math]}$ 的值．
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25. 选修4-5：不等式选讲, 已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}．
1. （1）求实数a，b的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 的最大值．
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26. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的通向公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 。
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