人教版数学九年级全册知识点训练营——二次函数的线段周长问题

更新时间：2024-10-22 浏览次数：2 类型：复习试卷

一、夯实基础

1. (2022九下·香洲模拟) 如图，二次函数y＝﹣x²+2x+m+1的图象交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，图象的顶点为D．下列四个命题：
①当x＞0时，y＞0；
②若a＝﹣1，则b＝4；
③点C关于图象对称轴的对称点为E，点M为x轴上的一个动点，当m＝2时，△MCE周长的最小值为2 $\text{[math]}$ ；
④图象上有两点P（x₁ ， y₁）和Q（x₂ ， y₂），若x₁＜1＜x₂ ，且x₁+x₂＞2，则y₁＞y₂ ，
其中真命题的个数有（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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2. (2024九上·昆明开学考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴平行的直线交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为．

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3. (2024八下·宁波期末) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ．矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，点C、D在抛物线上，则矩形 $\text{[math]}$ 周长的最大值为．

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4. (2023九上·桂林月考) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，则 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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5. (2023九上·秦皇岛期末) 如图，已知二次函数图象的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与该二次函数的图象交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线交二次函数的图象于点 $\text{[math]}$ 则线段 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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6. (2024九上·广东月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ．已知抛物线的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）在该抛物线上能否找到一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ？若能，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不能，请说明理由．
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二、能力提升

7. (2024九下·东莞模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ （a，b，c为常数，且 $\text{[math]}$ ）经过 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 两点．已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若该抛物线与线段 $\text{[math]}$ 恰有一个公共点，则a的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024九下·包河模拟) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上的不同两点，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B．下列四个论断：①当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；②若点P 是线段AB上方的点，作 $\text{[math]}$ 轴于点M，交AB于点N，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的长度随m增大而减小；③当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；④当 $\text{[math]}$ 时，点P 不与点A，B 重合，直线 $\text{[math]}$ ．其中正确的有（）

A . 1 个 B . 2 个 C . 3 个 D . 4 个

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9. (2024九下·阜阳模拟) 如图，在平面直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为常数）与抛物线 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴左侧，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．下列结论错误的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值随 $\text{[math]}$ 的增大而增大 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的面积的最小值为 $\text{[math]}$

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10. (2023九下·惠城月考) 已知开口向下的抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，有下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③若方程 $\text{[math]}$ 有解 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；④抛物线与直线 $\text{[math]}$ 交于P、Q两点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或1．其中，正确结论的个数是（　　）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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11. (2024九上·江西月考) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的负半轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一点，过点 $\text{[math]}$ 作直线 $\text{[math]}$ 轴，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 的坐标为．

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12. (2024九下·潮阳模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴分别交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点，点 $\text{[math]}$ 是其顶点，若点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 轴上一个动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. (2024九下·南充模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为M，点A是抛物线上异于点M的一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点M作 $\text{[math]}$ 交抛物线于点B，则点M到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最大值为．

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14. (2023九上·涪城月考) 如图，拋物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点A．点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 下方抛物线上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 轴交直线l于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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15. (2024九上·江汉月考) 如图1，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 坐标为 $\text{[math]}$ ．

图1 图2
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上的一点，当 $\text{[math]}$ 的面积最大时，在抛物线对称轴上找一点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 的和最小，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）如图2.点 $\text{[math]}$ 为该抛物线的顶点，直线 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离等于点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离？若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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16. (2024九上·绵阳期末) 如图，抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对称轴是 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在对称轴上运动．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为直角？若存在，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由；
3. （3）将线段 $\text{[math]}$ 绕着点 $\text{[math]}$ 逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 后得到线段 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 恰有一点落在抛物线上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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17. (2023九上·莲池月考) 如图，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴为 $\text{[math]}$ ，过其顶点 M 的一条直线 $\text{[math]}$ 与该抛物线的另一个交点为 $\text{[math]}$ ．要在坐标轴上找一点 P，使得 $\text{[math]}$ 的周长最小，则点 P 的坐标为（）

A . (0 ，2） B . ( $\text{[math]}$ ，0） C . (0 ，2）或( $\text{[math]}$ ， 0） D . 以上都不正确

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三、拓展创新

18. (2024·资阳) 已知二次函数y $\text{[math]}$ x²+bx与y $\text{[math]}$ x²﹣bx的图象均过点A（4，0）和坐标原点O ，这两个函数在0≤x≤4时形成的封闭图象如图所示，P为线段OA的中点，过点P且与x轴不重合的直线与封闭图象交于B ， C两点．给出下列结论：
①b＝2；
②PB＝PC；
③以O ， A ， B ， C为顶点的四边形可以为正方形；
④若点B的横坐标为1，点Q在y轴上（Q ， B ， C三点不共线），则△BCQ周长的最小值为5 $\text{[math]}$ ．
其中，所有正确结论的个数是（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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19. (2024·五莲模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、点B与y轴相交于点 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；②B点坐标为 $\text{[math]}$ ；③抛物线的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ；④直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于点D、E，若 $\text{[math]}$ ，则h的取值范围是 $\text{[math]}$ ；⑤在抛物线的对称轴上存在一点Q，使 $\text{[math]}$ 的周长最小，则Q点坐标为 $\text{[math]}$ ．其中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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20. (2024九上·淮北期末) 如图，点 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ 上第一象限内一动点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 分别作 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴的平行线，分别交直线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ ．下列说法中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为2 D . $\text{[math]}$ 周长的最大值为 $\text{[math]}$

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21. (2024九上·长兴月考) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ 点，且与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点是该抛物线对称轴上的一点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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22. (2024九下·成都模拟) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 的图象交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．现有一长为 $\text{[math]}$ 的线段 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上移动，且在移动过程中，线段 $\text{[math]}$ 上始终存在点 $\text{[math]}$ ，使得三条线段 $\text{[math]}$ 能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段 $\text{[math]}$ 左端点 $\text{[math]}$ 的橫坐标为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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23. (2024九下·天河开学考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A，与x轴交于B、C，点A关于抛物线对称轴的对称点为点D，点E在y轴上，点F在以点C为圆心，半径为1.5的圆上，则D的坐标是， $\text{[math]}$ 的最小值是．

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