手拉手全等模型——浙教版数学八上知识点训练

更新时间：2024-10-22 浏览次数：7 类型：复习试卷

一、选择题

1. 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 边上的一个动点，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边向右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 0.5 B . 2.5 C . $\text{[math]}$ D . 1

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2. (2023八上·惠阳期中) 已知如图，等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 延长线上一点，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ，下面的结论： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 是等边三角形； $\text{[math]}$ 其中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

3. (2024·从江模拟) 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形， $\text{[math]}$ 分别是AE，CD的中点，连接MN ， BD.当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，MN的长度为.

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4. (2024·天河模拟) $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点D是 $\text{[math]}$ 边的中点，把点D绕点B逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点E ，连接 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值是．

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三、解答题

5. (2023八上·惠阳期中) 如图， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均是等边三角形，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一直线上， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）求证： $\text{[math]}$ 是等边三角形．
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6. (2024七下·贵阳期中) 有两个三角形，分别为△ABC和△ADE，其中∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE.
1. （1）若按如图(1)所示位置摆放，使得AC与AD重合，连接BD，CE，则BD与CE的数量关系是；
2. （2）在图(2)中，延长BD交CE于点F，求∠BFC的度数；
3. （3）若按如图(3)所示位置摆放，连接BD，CE，且BD与CE交于点F，BD与AC交于点H，请判断BD与CE之间的关系，并说明理由.
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7. 如图 1，等边三角形 $\text{[math]}$ 的边长为 4 ，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上异于 $\text{[math]}$ 的一动点，连结 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边长，在 $\text{[math]}$ 右侧作等边三角形 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．当点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动时， $\text{[math]}$ 能否形成直角三角形？若能，求此时 $\text{[math]}$ 的长；若不能，请说明理由．

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8. (2024八上·廉江月考) 如图，已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等边三角形，BD、CE交于点F.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求锐角 $\text{[math]}$ 的度数.
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9. (2024七下·榕城期末) 在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型，它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” $\text{[math]}$ 兴趣小组进行了如下探究：
1. （1）如图 $\text{[math]}$ ，两个等腰三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型” $\text{[math]}$ 在这个模型中，和 $\text{[math]}$ 全等的三角形是，此时线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系是；
2. （2）如图 $\text{[math]}$ ，两个等腰直角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，两线交于点 $\text{[math]}$ ，请判断线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系和位置关系，并说明理由；
3. （3）如图 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为边分别向 $\text{[math]}$ 外作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ 等边三角形三条边相等，三个角都等于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，请直接写出线段 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的数量关系及 $\text{[math]}$ 的度数．
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10. (2024八下·当阳期末) 已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠EAD＝90°，△ADE绕着顶点A旋转．
1. （1）如图1，若D点恰好落在BC边上，连接CE ．
  ①求证：BD＝CE；
  ②若G为AC中点，连接GE ，当点D在直线BC上运动时，若AC＝10，求线段GE的最小值；
2. （2）若D不在BC边上，DE交AC于点F ，且AB＝10，AD＝6 $\text{[math]}$ ．当△CEF是直角三角形时，求BD长．（图2，图3是备用图）
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11. (2023·柳南模拟) 综合与实践
1. （1）问题发现：如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上，连接 $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ；将下列解答过程补充完整．
  证明： $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ，
  在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，
  $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
  ②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为．
2. （2）类比探究：如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均为等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 在同一条直线上， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中 $\text{[math]}$ 边上的高，连接 $\text{[math]}$ ．请判断 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 三条线段的数量关系，并说明理由．
3. （3）拓展延伸：在（2）的条件下，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出四边形 $\text{[math]}$ 的面积．
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12. (2024七下·龙岗期末) 【背景材料】
在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个三角形纸片为操作对象，进行相关问题的研究．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，老师将 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 按如图1所示的位置摆放(点E、A、B在同一条直线上)，发现 $\text{[math]}$ ．接下来让同学们以小组为单位开展进一步的探究．
1. （1）【初步探究】志远小组在老师基础上进行探究，他们保持 $\text{[math]}$ 不动，将 $\text{[math]}$ 按如图2位置摆放，发现 $\text{[math]}$ 仍然成立，请你帮他们完成证明；
2. （2）【深入探究】勤学小组剪了两个大小不同的等腰 $\text{[math]}$ 和等腰 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将两个等腰三角形按如图3位置摆放，请问当 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的大小满足怎样的关系时，背景中的结论 $\text{[math]}$ 仍成立？请说明理由；
3. （3）【拓展应用】创新小组保持老师提供的 $\text{[math]}$ 不动，另剪一个等腰直角△ABC按如图4位置摆放， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于沿着过点D的某条直线对称， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点F，当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的斜边 $\text{[math]}$ 上时，连接 $\text{[math]}$ ，请证明 $\text{[math]}$ 为等腰三角形．
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13. (2023八上·鹿寨期中) 综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”．如图1， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形，其中 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【初步把握】如图2， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 都是等腰三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则有_______ $\text{[math]}$ ________．
2. （2）【深入研究】如图3，已知 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边分别向外作等边 $\text{[math]}$ 和等边 $\text{[math]}$ ，并连接BE， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
3. （3）【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，交于点P，请判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的关系，并说明理由．
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