(Ⅰ)如图1,当PM=AP,PN=BP且∠APM=∠BPN=90°时,试猜想BM,AN之间的数量关系与位置关系,并证明你的猜想;
(Ⅱ)如图2,当△APM,△BPN都是等边三角形时,(Ⅰ)中BM,AN之间的数量关系是否仍然成立?若成立,请证明你的结论;若不成立,试说明理由.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,连接AB得到图3,当PN=2PM时,求∠PAB度数.
思考:“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1:在 上截取 ,连接 ,得到全等三角形,进而解决问题;
方法2:延长 到点N,使得 ,连接 ,得到全等三角形,进而解决问题.
结合图1,在方法1和方法2中任选一种 , 添加辅助线并完成证明.
七下教材第149页提出这样一个问题:如图1,∠AOB=90°,OC平分∠AOB,把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上,并使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F,PE与PF相等吗?
①PE与PF还相等吗?为什么?
②试判断OE、OF、OP三条线段之间的数量关系,并说明理由.
②如图1,连接CK,若 , 求证: .