浙教版备考2023年中考数学一轮复习53.等边三角形的性质与...

更新时间：2022-12-31 浏览次数：156 类型：一轮复习

一、单选题（每题3分，共30分）

1. (2024八下·北京市期中) 下列关于等边三角形的描述不正确的是（）

A . 是轴对称图形 B . 对称轴的交点是其重心 C . 是中心对称图形 D . 绕重心顺时针旋转120°能与自身重合

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2. (2024八下·南昌期中) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一点，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 的周长，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023·东平模拟) 如图，直线 $\text{[math]}$ ，等边三角形 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022·铜仁) 如图，等边 $\text{[math]}$ 、等边 $\text{[math]}$ 的边长分别为3和2.开始时点A与点D重合， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 向右平移，当点D到达点B时停止.在此过程中，设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合部分的面积为y， $\text{[math]}$ 移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（）

A . B . C . D .

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5. (2022八上·嘉兴期中) 如图，在等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上有一动点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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6. (2022八上·曹县期中) 如图，P是等边 $\text{[math]}$ 的边AC的中点，E为 $\text{[math]}$ 边延长线上一点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为（）

A . 20° B . 25° C . 30° D . 35°

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7. (2022八上·温州期中) 如图， $\text{[math]}$ 是等边三角形，过 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 7 B . 7.5 C . 8 D . 8.5

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8. (2022八上·永善期中) 一辆汽车沿A地北偏东50方向行驶6千米到达B地，再沿B地南偏东10°方向行驶6千米到达C地，则此时A、C两地相距（）千米。

A . 12 B . $\text{[math]}$ C . 6 D . 3

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9. (2022八下·龙岗期末) 如图，点E是等边三角形△ABC边AC的中点，点D是直线BC上一动点，连接ED，并绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，连接DF．若运动过程中AF的最小值为 $\text{[math]}$ ，则AB的值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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10. (2022八上·义乌期中) 如图，等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 边上的点， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的平分线交于 $\text{[math]}$ 边上的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 下列说法： $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ；其中正确的说法有（）

A . 4个 B . 3个 C . 2个 D . 1个

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二、填空题（每题4分，共24分）

11. (2022·嘉兴) 小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件．

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12. (2022·黄石) 如图，等边 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点E为高 $\text{[math]}$ 上的一动点，以 $\text{[math]}$ 为边作等边 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值为．

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13. (2022·长春) 跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形 $\text{[math]}$ 和等边三角形 $\text{[math]}$ 组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若 $\text{[math]}$ 厘米，则这个正六边形的周长为厘米．

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14. (2022·朝阳) 等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．

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15. (2022七上·盐都月考) 如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C₁的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ …的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为C_n ，则C_n-C_n-1＝．

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16. (2022九上·易县期中) 如图，等边△ABC内有一点O，OA＝3，OB＝4，OC＝5，以点B为旋转中心将BO逆时针旋转60°得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ 可以看成是△BOC绕点B逆时针旋转60°得到的；②点O与 $\text{[math]}$ 的距离为5；③∠AOB＝150°；④S_{四边形AOBO′}＝6+4 $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ＝6+ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有．（填正确序号）

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三、解答题（共8题，共66分）

17. (2023·会宁模拟) 如图，△ $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ .

求证： $\text{[math]}$ .

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18. (2022·无锡) 如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE.
1. （1）求证 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求CE的长.
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19. (2023八下·泗县月考) 如图，点D在等边 $\text{[math]}$ 的外部，E为 $\text{[math]}$ 边上的一点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F， $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断 $\text{[math]}$ 的形状，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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20. (2022·济南) 如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．
1. （1）判断线段BD与CE的数量关系并给出证明；
2. （2）延长ED交直线BC于点F．
  ①如图2，当点F与点B重合时，直接用等式表示线段AE，BE和CE的数量关系为 ▲ ；
  ②如图3，当点F为线段BC中点，且ED＝EC时，猜想∠BAD的度数，并说明理由．
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21. (2022·龙东) $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形．
1. （1）将 $\text{[math]}$ 绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有 $\text{[math]}$ （或 $\text{[math]}$ ）成立；请证明．
2. （2）将 $\text{[math]}$ 绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
3. （3）将 $\text{[math]}$ 绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
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22. (2024九下·雷州月考) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．动点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿边 $\text{[math]}$ 向终点 $\text{[math]}$ 匀速运动．以 $\text{[math]}$ 为一边作 $\text{[math]}$ ，另一边 $\text{[math]}$ 与折线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为边作菱形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上．设点 $\text{[math]}$ 的运动时间为 $\text{[math]}$ ，菱形 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分图形的面积为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ；（用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 落在边 $\text{[math]}$ 上时，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的函数解析式，并写出自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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23. (2022七上·龙口期中) 如图1，点P，Q分别是边长为4 cm的等边△ABC边AB，BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，都以1 cm/s的速度分别向B，C运动．
1. （1）连接AQ，CP交于点M，则P，Q运动的过程中，∠CMQ的大小变化吗？若变化，说明理由；若不变，求出它的度数；
2. （2）何时△PBQ是直角三角形？
3. （3）如图2，若点P，Q在运动到终点后继续在射线 AB，BC上运动，直线AQ，CP交于点M，则∠CMQ的度数为．
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24. (2022九上·长清期中) 解答题
1. （1）如图1， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等边三角形，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求证， $\text{[math]}$ ；
2. （2） [类比探究]
  如图2， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是等腰直角三角形， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3） [拓展提升]
  如图3， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都是直角三角形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．连接 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点F，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 恰好等于 $\text{[math]}$ ，请直接写出此时 $\text{[math]}$ 之间的数量关系．
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