2023-2024学年高中数学人教A版选择性必修一 1.2 ...

更新时间：2023-08-06 浏览次数：46 类型：同步测试

一、选择题

1. (2023高二上·鄠邑期末) 已知 $\text{[math]}$ 是空间的一个基底，则下列说法错误的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 两两共面，但 $\text{[math]}$ 不共面 C . 一定存在x，y，使得 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 一定能构成空间的一个基底

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2. (2023高二上·汕尾期末) 已知矩形 $\text{[math]}$ 为平面 $\text{[math]}$ 外一点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. (2022高二上·清远期中) 在平行六面体 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱 $\text{[math]}$ 的长为b，且 $\text{[math]}$ .则（）

A . $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与AC所成角的余弦值 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 与BC所成角的余弦值 $\text{[math]}$

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4. (2022高二上·信阳期中) 设向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不共面，空间一点P满足 $\text{[math]}$ ，则A，B，C，P四点共面的一组数对 $\text{[math]}$ 是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高二上·辽宁月考) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 的底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形，M，N分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， N是 $\text{[math]}$ 的中点，向量 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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6. (2022高二上·河南月考) 已知A，B，C，D四点在平面 $\text{[math]}$ 内，且任意三点都不共线，点P为平面 $\text{[math]}$ 外的一点，满足 $\text{[math]}$ ，则z＝（）

A . 2 B . 1 C . －1 D . －2

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7. (2022高二上·沧州月考) 已知 $\text{[math]}$ 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高二下·海安期末) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两共面，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共面 C . 对于空间的任意一个向量 $\text{[math]}$ ，总存在实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 是空间的一组基底，则 $\text{[math]}$ 也是空间的一组基底

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二、多项选择题

9. (2021高二上·山东月考) 设 $\text{[math]}$ 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）

A . 基底 $\text{[math]}$ 中的向量可以为任意向量. B . 空间中任一向量 $\text{[math]}$ ，存在唯一有序实数组 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 也可以构成空间的一组基底.

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10. (2021高二上·广东期中) 以下四个命题中错误的是（）

A . 空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B . 若 $\text{[math]}$ 为空间向量的一组基底，则 $\text{[math]}$ 构成空间向量的另一组基底 C . 对空间任意一点 $\text{[math]}$ 和不共线的三点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 四点共面 D . 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底

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11. (2021高三上·山东月考) 若 $\text{[math]}$ 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. (2020高二上·夏津月考) 在以下命题中，不正确的命题有（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 共线的充要条件 B . 若 $\text{[math]}$ ，则存在唯一的实数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ C . 对空间任意一点 $\text{[math]}$ 和不共线的三点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面 D . 若 $\text{[math]}$ 为空间的一个基底，则 $\text{[math]}$ 构成空间的另一个基底

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13. (2021高二上·深圳期中) 在三维空间中，定义向量的外积： $\text{[math]}$ 叫做向量 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② $\text{[math]}$ 的模 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 表示向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角）在正方体 $\text{[math]}$ 中，有以下四个结论，正确的有（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 共线 D . $\text{[math]}$ 与正方体表面积的数值相等

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三、填空题

14. (2022高二上·黑龙江期末) 已知P ， A ， B ， C四点共面，对空间任意一点O ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. (2023·达州模拟) 如图， $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别是正方体 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2022高二上·深圳期中) 如图，在正四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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17. (2021高二上·茂名期中) 下列关于空间向量的命题中，
①若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与空间任意向量都不能构成基底，则 $\text{[math]}$ ；

②若非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有 $\text{[math]}$ ；

③若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是空间的一组基底，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共面；

④若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，是空间一组基底，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 也是空间的一组基底．

上述命题中，正确的有．

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18. (2018高二上·集宁月考) 已知 $\text{[math]}$ 是空间任一点， $\text{[math]}$ 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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19. 已知点M，N分别是空间四面体OABC的边OA和BC的中点，P为线段MN的中点，若 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则实数λ+μ+γ=

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20. (2022高二下·苍南月考) 已知空间向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则对任意实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的最小值是．

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四、解答题

21.
如图，在平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AB=5，AD=3，AA₁=4，∠DAB=90°，∠BAA₁=∠DAA₁=60°，E是CC₁的中点，设 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
（1）用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
（2）求AE的长？

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22.
如图，在空间平行六面体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，若以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为空间的一个基底，用这个基底表示 $\text{[math]}$ ．

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23.
如图，设O是▱ABCD所在平面外的任一点，已知 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 你能用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ 吗？若能，用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示出 $\text{[math]}$ ；若不能，请说明理由．

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24. (2019高二上·佛山月考) 平行六面体 $\text{[math]}$ 中，以顶点 $\text{[math]}$ 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值.
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25. (2022高二上·河南月考) 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 的中点．
1. （1）用向量 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值．
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