高中数学三轮复习（直击痛点）：专题5隐零点问题

更新时间：2024-01-27 浏览次数：12 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2024高三上·硚口) 若函数 $\text{[math]}$ 有两个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题

2. (2023高二下·金华期末) 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极值点 B . $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的最小值 C . $\text{[math]}$ 最多有2个零点 D . $\text{[math]}$ 最少有1个零点

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3. (2023高二下·浙江期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .下列结论正确的是（）

A . 函数 $\text{[math]}$ 不存在最大值，也不存在最小值 B . 函数 $\text{[math]}$ 存在极大值和极小值 C . 函数 $\text{[math]}$ 有且只有1个零点 D . 函数 $\text{[math]}$ 的极小值就是 $\text{[math]}$ 的最小值

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三、填空题

4. (2023高二下·简阳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 存在唯一的零点 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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5. (2022高三上·沈阳月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 的零点恰好是 $\text{[math]}$ 的极值点，则 $\text{[math]}$ .

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四、解答题

6. (2023高二下·福州期末) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 恰有 $\text{[math]}$ 个零点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围
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7. (2023高二下·金华期末) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 有两个不相等的零点 $\text{[math]}$ ，极值点为 $\text{[math]}$ ，证明：
  （i） $\text{[math]}$
  
  （ii） $\text{[math]}$
  
  注： $\text{[math]}$ 为自然对数的底数， $\text{[math]}$ .
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8. (2023高二下·宁波期末) 已知定义在R上的函数 $\text{[math]}$ ，其中a为实数.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，解不等式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有且仅有两个零点，求a的取值范围；
3. （3）对于 $\text{[math]}$ ，若存在实数 $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.（结果用a表示）
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9. (2023高二下·宝安期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：函数 $\text{[math]}$ 有且只有一个零点；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 的两个极值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围，并证明 $\text{[math]}$ ．
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10. (2023·玉林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求函数 $\text{[math]}$ 的单调区间：
2. （2）若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）有3个零点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
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11. (2023·松江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）试将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
2. （2）借助（1）的结果，求函数 $\text{[math]}$ 的导函数和最小值；
3. （3）记 $\text{[math]}$ ， a是实常数，函数 $\text{[math]}$ 的导函数是 $\text{[math]}$ ．已知函数 $\text{[math]}$ 有三个不相同的零点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
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12. (2023·滁州模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 的零点；
2. （2）证明：对于任意的正实数k，存在 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，恒有 $\text{[math]}$ .
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13. (2023高三上·前郭尔罗斯月考) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的单调性；
2. （2）若当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围．
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14. (2023高三上·长沙月考) 证明下面两题：
1. （1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明函数 $\text{[math]}$ 有2个不同零点.
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15. (2023高三上·杭州月考) 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）设函数 $\text{[math]}$ ，证明：
  ① $\text{[math]}$ 有且仅有一个极小值点；
  ②记 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的唯一极小值点，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，且有无穷多个切点，求所有符合上述条件的直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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16. (2023高二下·北仑开学考) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ 存在零点，求实数a的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的零点，求证： $\text{[math]}$
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17. (2023高三上·启东期末) 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的范围，并证明 $\text{[math]}$
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18. (2022高三上·临沂期中) 已知函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有相同的最大值.
1. （1）求 $\text{[math]}$ ，并说明函数 $\text{[math]}$ 在（1，e）上有且仅有一个零点；
2. （2）证明：存在直线 $\text{[math]}$ ，其与两条曲线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
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19. (2022高三上·安庆月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，判断 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内有几个零点，并证明.
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20. (2022高三上·云南月考) 已知函数 $\text{[math]}$ 是奇函数，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的零点；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 内有最大值，求m的取值范围.
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