2024年中考数学考前20天终极冲刺专题之测量类应用

更新时间：2024-05-22 浏览次数：60 类型：三轮冲刺

一、选择题

1. (2024·海曙模拟) 如图，将一个 $\text{[math]}$ 形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（）

A . $\text{[math]}$ 厘米 B . $\text{[math]}$ 厘米 C . $\text{[math]}$ 厘米 D . $\text{[math]}$ 厘米

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2. (2024九下·深圳期中) 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为5m ，若在坡比为i＝1：2.5的山坡种树，也要求株距为5m ，那么相邻两棵树间的坡面距离为（　　）

A . 2.5m B . 5m C . $\text{[math]}$ D . 10m

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3. (2024·长春净月高新技术产业开发模拟) 如图，天定山滑雪场有一坡角为 $\text{[math]}$ 的滑雪道，滑雪道 $\text{[math]}$ 长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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4. 一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则房顶 $\text{[math]}$ 离地面 $\text{[math]}$ 的高度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图①，将一个楔子Rt $\text{[math]}$ 从木桩的底端点 $\text{[math]}$ 沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，楔子沿水平方向前进 $\text{[math]}$ （如图②），那么木桩上升的高度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2024·深圳模拟) 如图是一款桌面可调整的学习桌，桌面宽度AB为60cm，桌面平放时高度DE为70cm，若书写时桌面适宜倾斜角 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ ，则桌沿（点A）处到地面的高度h为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024·长春汽车经济技术开发模拟) 某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形，若∠ACB=130°，AC=BC=1.2m，CD 与地面垂直且CD=6m，则灯顶 A 到地面的高度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024·宝安模拟) “圭表”是中国古代用来确定节气的仪器．某“圭表”示意图如图所示， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米，测得某地夏至正午时“表”的影长 $\text{[math]}$ 米，冬至时的正午太阳高度角 $\text{[math]}$ ，则夏至到冬至，影长差 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . $\text{[math]}$ 米 B . $\text{[math]}$ 米 C . $\text{[math]}$ 米 D . $\text{[math]}$ 米

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9. (2024·深圳模拟) 榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式．如图，在某燕尾榫中，榫槽的横截面 $\text{[math]}$ 是梯形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，燕尾角 $\text{[math]}$ ，外口宽 $\text{[math]}$ ，榫槽深度是 $\text{[math]}$ ，则它的里口宽 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角 $\text{[math]}$ ，再沿 $\text{[math]}$ 方向前进至C处测得最高点A的仰角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则灯塔的高度 $\text{[math]}$ 大约是（）（结果精确到 $\text{[math]}$ ，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023九上·南山月考) 一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4 $\text{[math]}$ cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2 $\text{[math]}$ cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . 12cm C . $\text{[math]}$ D . 14cm

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二、填空题

12. 如图，ED 为一条宽为 $\text{[math]}$ 的河，河的西岸建有一道防洪堤，防洪堤与东岸的高度差为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ）．因为施工需要，现准备将东岸的泥沙通过滑轨送到西岸的防洪堤上，防洪堤上已经建好一座固定滑轨一端的钢架，现准备在东岸找一个点 $\text{[math]}$ 作为另一端的固定点．已知吊篮的截面为直径为 $\text{[math]}$ 的半圆（直径 $\text{[math]}$ ），绳子 $\text{[math]}$ ，钢架高度为 $\text{[math]}$ ，距离防洪堤边缘为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）西岸边缘点 $\text{[math]}$ 与东岸边缘点 $\text{[math]}$ 之间的距离为 $\text{[math]}$ ．
2. （2）滑轨在运送货物时保持笔直，要想做到运输过程中吊篮一定不会碰到点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长应大于 $\text{[math]}$ ．
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13. (2024九上·怀化期末) 阅读材料：在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
解题思路：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，再连接 $\text{[math]}$ ，可证 $\text{[math]}$ 为等腰三角形，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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14. (2023九上·鹿城月考) 图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开后示意图如图2所示，由车架 $\text{[math]}$ 和两个大小相同的车轮组成，已知 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 在同一水平高度上时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；为方便存放，将车架前部分绕着点 $\text{[math]}$ 旋转至 $\text{[math]}$ ，如图3所示，则 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

15. (2024·新都模拟) 某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点M处架设测角仪，测得古城门最高点A的仰角为22°，然后前进20m到达点N处，测得点A的仰角为45°；已知测角仪的高度为1.4m ．求古城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）

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16. (2024·南京二模) 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图，半径为3m的筒车⊙O按逆时针方向每分钟转 $\text{[math]}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B ，筒车的轴心O距离水面的高度OC为2.2m ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒P刚浮出水面（点A）时开始计算时间．
1. （1）求盛水筒P从A点到达最高点所经过的路程；
2. （2）求浮出水面3.4秒时，盛水筒P到水面的距离；
3. （3）若接水槽MN所在直线是⊙O的切线，且与直线AB交于点M ， MO＝8m ，直接写出盛水筒P从最高点开始，经过多长时间恰好第一次落在直线MN上．（参考数据：cos43°＝sin47°≈ $\text{[math]}$ ， sin16°＝cos74°≈ $\text{[math]}$ ， sin22°＝cos68°≈ $\text{[math]}$ ）
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17. (2024九上·昌平期末) 某校组织九年级学生参加社会实践活动，数学学科的项目任务是测量银山塔林中某塔的高度 $\text{[math]}$ ，其中一个数学兴趣小组设计的方案如图所示，他们在点C处用高1.5m的测角仪 $\text{[math]}$ 测得塔顶A的仰角为 $\text{[math]}$ ，然后沿 $\text{[math]}$ 方向前行7m到达点F处，在F处测得塔顶A的仰角为 $\text{[math]}$ ．请根据他们的测量数据求塔高 $\text{[math]}$ 的长度大约是多少．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．）

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18. (2023九上·泰山月考) 嵩岳寺塔，位于登封市区西北5公里嵩山南麓峻极峰下嵩岳寺内，是嵩岳寺内唯一的北魏遗存建筑，也是中国现存最古老的砖塔，它见证了这座寺院的千年历史．小明想知道塔的高度．于是走到点C处，测得此时塔尖A的仰角是37°，向前走了11.8米至点F处，测得此时塔尖A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮他求出嵩岳寺塔AB的高度．（参考数据：sin37°≈ $\text{[math]}$ ， cos37°≈ $\text{[math]}$ ， tan37°≈ $\text{[math]}$ ）

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四、实践探究题

19. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图①所示．
1. （1）如图 ②，在点 $\text{[math]}$ 观察所测物体最高点 $\text{[math]}$ ，当量角器零刻度线上 $\text{[math]}$ 两点均在视线 $\text{[math]}$ 上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 $\text{[math]}$ ，设仰角为 $\text{[math]}$ ，请直接用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．
2. （2）如图③，为了测量广场上空气球 $\text{[math]}$ 离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点 $\text{[math]}$ 分别测得气球 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ ，地面上点 $\text{[math]}$ 在同一水平直线上， $\text{[math]}$ ，求气球 $\text{[math]}$ 离地面的高度 $\text{[math]}$ ．
  （参考数据： $\text{[math]}$
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20. 问题：如何设计“倍力桥”的结构？
图 38-1①是搭成的 “倍力桥”，纵梁 $\text{[math]}$ 夹住横梁 $\text{[math]}$ ，使得横梁不能移动，结构稳固．
图 38-1②是长为 $\text{[math]}$ ，宽为 $\text{[math]}$ 的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为 $\text{[math]}$ 的半圆，圆心分别为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，纵梁是底面半径为 $\text{[math]}$ 的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．
1. （1）探究 1：图 38-1③是 “桥”侧面示意图， $\text{[math]}$ 为横梁与地面的交点， $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是横梁侧面两边的交点，测得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ ，试判断四边形 $\text{[math]}$ 的形状，并求 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）探究 2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．
  ①若有 12 根横梁绕成环，图 38-1④是其侧面示意图，内部形成十二边形 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
  ②若有 $\text{[math]}$ 根横梁绕成的环（ $\text{[math]}$ 为偶数，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，试用关于 $\text{[math]}$ 的代数式表示内部形成的多边形 $\text{[math]}$ 的周长．
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21. (2024九上·长沙期末) 一透明的敞口正方体容器ABCD﹣A^'B^'C^'D^'装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE＝α，如图所示）．
探究：如图1，液面刚好过棱CD ，并与棱BB^'交于点Q ，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图②．
1. （1）解决问题：CQ与BE的位置关系是，BQ的长是dm ， α＝°（注：sin49°＝cos41° $\text{[math]}$ ， tan37° $\text{[math]}$ ）
2. （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液＝底面积SBCQ×高AB）
3. （3）在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出．图3或图4是其正面示意图，若液面与棱C^'C或CB交于点P、点Q始终在棱BB^'上，设PC＝x ， BQ＝y ，分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．
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22. (2022九上·寒亭期中) 【阅读理解】：如图，在 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边， $\text{[math]}$ ，其外接圆半径为R．根据锐角三角函数的定义： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （规定 $\text{[math]}$ ）．
1. （1）【探究活动】：如图，在锐角 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边，其外接圆半径为R，那么： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （用>，=或<连接），并说明理由．
2. （2）【初步应用】：事实上，以上结论适用于任意三角形．在 $\text{[math]}$ 中，a，b，c分别是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边．已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
3. （3）【综合应用】：如图，在某次数学实践活动中，小莹同学测量一栋楼 $\text{[math]}$ 的高度，在A处用测角仪测得地面点C处的俯角为45°，点D处的俯角为15°，B，C，D在一条直线上，且C，D两点的距离为100m，求楼 $\text{[math]}$ 的高度．（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
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