2024年深圳市数学八（下）期末复习：精选压轴题

更新时间：2024-06-02 浏览次数：52 类型：复习试卷

一、选择题

1. (2023八下·龙岗期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上一点，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠得 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若四边形 $\text{[math]}$ 为平行四边形，则 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . $\text{[math]}$

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2. (2023八下·南山期末) 某大型超市从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失 $\text{[math]}$ ，假设不计超市其它费用，如果超市要想至少获得 $\text{[math]}$ 的利润，那么这种水果的售价在进价的基础上应至少提高（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023八下·深圳期末) 在如图所示的三角形纸片ABC中， $\text{[math]}$ ，沿AD折叠三角形纸片，使点C落在AB边上的E点，若此时点D恰好为BC边靠近点C的三等分点，则下列结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③DE垂直平分AB；④ $\text{[math]}$ ，其中正确是（）

A . ①②③ B . ①②④ C . ①③④ D . ②③④

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4. (2023八下·福田期末) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2023八下·深圳期末) 如图， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 之间的距离为4，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 外一点，点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离为2，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 上的动点，以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，再以点 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 的长为半径作弧，两弧交于点 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间距离的最小值为（）

A . 6 B . 8 C . 10 D . 12

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6. (2023八下·罗湖期末) 如图，在四边形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 所在的直线翻折得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 长度的最小值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2023八下·深圳期末) 在如图所示的三角形纸片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，沿 $\text{[math]}$ 折叠三角形纸片，使点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 边上的 $\text{[math]}$ 点，若此时点 $\text{[math]}$ 恰好为 $\text{[math]}$ 边靠近点 $\text{[math]}$ 的三等分点，则下列结论： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ≌ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 垂直平分 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，其中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2023八下·宝安期末) 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 把六边形 $\text{[math]}$ 的面积分成相等的两部分，则直线 $\text{[math]}$ 的解析式为（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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9. (2023八下·深圳期末) 如图，在矩形ABCD中， $\text{[math]}$ .把AD沿AE折叠，使点 $\text{[math]}$ 恰好落在AB边上的 $\text{[math]}$ 处，再将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恰好经过 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ 交AB于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .有如下结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 的长度是 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .上述结论中，正确的个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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二、填空题

10. (2023八下·南山期末) 如图，在Rt $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 延长BE到点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，连接AD，CD，若 $\text{[math]}$ ，则CD的长为.

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11. (2023八下·福田期末) 为了让学生更直观地认识等腰直角三角形，林老师制作了一个等腰直角三角形教具，课余时间他把教具挂在墙上．如图，教具 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位于同一平面内，这三个顶点到地面的距离分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．

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12. (2023八下·宝安期末) 如图，在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，对角线AC、BD交于点 $\text{[math]}$ ，经过点 $\text{[math]}$ 的直线交AD于点 $\text{[math]}$ ，且平分 $\text{[math]}$ 的周长，则 $\text{[math]}$ .

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13. (2023八下·龙岗期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. (2023八下·深圳期末) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将边 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 后，点 $\text{[math]}$ 恰好落在边 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 处，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长度为．

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15. (2023八下·罗湖期末) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 外一点，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的长为．

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16. (2023八下·深圳期末) 如图，在正方形ABCD中，AB=2，点E是BC边的中点，连接AE，延长EB至点F，使得EF=AE，过点F作FG⊥AE，垂足为M，FG分别交CD、AB于G、N两点，则 $\text{[math]}$ =.

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三、解答题

17. (2023八下·龙岗期末) 数学活动课上，老师组织数学小组的同学进行以“三角形卡片拼接与变换”为主题的数学学习活动．他们准备若干个 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的特殊直角三角形卡片，其中在三角形卡片 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）如图1，将一个与 $\text{[math]}$ 全等的 $\text{[math]}$ 沿较长的直角边重合，拼成一个四边形 $\text{[math]}$ ．
  ①求证：四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形；
  ②连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
2. （2）在（1）的条件下，将一条直角边与 $\text{[math]}$ 重合的等腰直角三角形卡片 $\text{[math]}$ ）与四边形 $\text{[math]}$ 拼成如图2所示的平面图形，请求出点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的距离；
3. （3）一个斜边长度与 $\text{[math]}$ 相等的 $\text{[math]}$ 三角板 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）如图3摆放，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转，旋转角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 旋转后的三角形记为 $\text{[math]}$ ．在旋转过程中，直线 $\text{[math]}$ 所在的直线与直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 为等腰三角形时，请直接写出 $\text{[math]}$ 的长．
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18. (2023八下·南山期末) [知识链接]“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决.
在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和.请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
1. （1） [问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形(长方形)的研究发现在矩形ABCD中令AB=a，BC=b，则可求得AC²+BD²=(用含a、b的式子)；
2. （2） [问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC²+BD²=2(AB²+BC²)；
3. （3） [问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD=3，BC=8，(AB-AC)²=10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB·AC的值.
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19. (2023八下·福田期末) 【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．
1. （1）如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线 $\text{[math]}$ 方向平移而成，其中，平移的距离是．同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是
2. （2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等．
  ①请问两种瓷砖每块各多少元？
  ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少．按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 ▲ 元．
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20. (2023八下·罗湖期末) 如图
1. （1）【探究发现】
  如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．则有下列命题：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程．
2. （2）【类比迁移】
  如图2，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在三角形的内部，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
3. （3）【拓展提升】
  如图3．在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针方向旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，把线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ ，分别连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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21. (2023八下·罗湖期末) 【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
例：已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$

证明： $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$
1. （1）【新知理解】比较大小： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．（填“ $\text{[math]}$ ”，“＝”，“ $\text{[math]}$ ”）
2. （2）【问题解决】甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（ $\text{[math]}$ 为正整数），其面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．请比较 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的大小关系．
3. （3）【拓展应用】请用“作差法”解决下列问题：
  某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？
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22. (2024九上·松原期末) 问题情境：在学习 $\text{[math]}$ 图形的平移和旋转 $\text{[math]}$ 时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为等边 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【猜想证明】试猜想 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的数量关系，并加以证明；
2. （2）【探究应用】如图 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为等边 $\text{[math]}$ 内一点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，求证： $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ；
3. （3）【拓展提升】如图 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的动点，将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到线段 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在运动过程中， $\text{[math]}$ 的周长最小值 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 直接写答案 $\text{[math]}$ ．
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23. (2023八下·宝安期末)
1. （1）【课本重现】
  已知：如图1，D，E分别是等边 $\text{[math]}$ 的两边AB，AC上的点，且 $\text{[math]}$ CE.若BE，CD交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ °；
2. （2）【迁移拓展】
  如图2，已知点 $\text{[math]}$ 是等边 $\text{[math]}$ 的AB边上一点，点 $\text{[math]}$ 是AC延长线上一点，若 $\text{[math]}$ ，连接ED，EB.求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）
  【拓展延伸】如图3，若点D，E分别是BA，AC延长线上一点，且 $\text{[math]}$ .连接DE，以DE为边向右侧作等边 $\text{[math]}$ ，连接AF，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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24. (2023八下·深圳期末) 问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图1，点D为等边 $\text{[math]}$ 的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE.
1. （1）【猜想证明】
  试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明；
2. （2）【探究应用】
  如图2，点D为等边 $\text{[math]}$ 内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接CE，若B、D、E三点共线，求证：EB平分 $\text{[math]}$ ；
3. （3）【拓展提升】
  如图3，若 $\text{[math]}$ 是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE.点D在运动过程中， $\text{[math]}$ 的周长最小值=（直接写答案）
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25. (2023七下·深圳期末) 在等腰 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上的动点， $\text{[math]}$ 垂直于直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）【探索发现】如图①，若点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的延长线上，点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上时，请猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系为；
2. （2）【拓展提升】如图②，若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合），试猜想 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 之间的数量关系，并说明理由：
3. （3）【灵活应用】当 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 时，直接写出线段 $\text{[math]}$ 的长为
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26. (2023八下·深圳期末) 【问题背景】如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 逆时针旋转至 $\text{[math]}$ ，记旋转角 $\text{[math]}$ ，当线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不共线时，记 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ．

【特例分析】如图2，当 $\text{[math]}$ 恰好过点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一条直线上时．
1. （1） $\text{[math]}$ °；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
3. （3）【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论，猜想：在旋转过程中， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间存在一定的等量关系．再经过独立思考，获得了如下一些解决思路：
  思路1：如图1，过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别作直线平行于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两直线交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，可证一组三角形全等，再根据平行四边形的相关性质解决问题；
  思路2：如图2，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点 $\text{[math]}$ ，可证一组三角形全等，再根据旋转的相关性质解决问题；……
  如图3，请你根据以上思路，并结合你的想法，探究 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的等量关系为，并说明理由．
4. （4）【拓展应用】在旋转过程中，当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 面积的 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值为
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27. (2023八下·深圳期末) 【定义】对于没有公共点的两个图形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，点 $\text{[math]}$ 是图形 $\text{[math]}$ 上任意一点，把 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点之间的距离的最小值称为图形 $\text{[math]}$ 与图形 $\text{[math]}$ 的距离，记为 $\text{[math]}$ ．

【理解】如图1，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 边上任意一点．
1. （1）当点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上时， $\text{[math]}$ 的最小值是，因此 $\text{[math]}$ [点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ ]＝；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在任意边上时， $\text{[math]}$ 的最小值是，因此 $\text{[math]}$ [点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]＝；
3. （3）【拓展】如图2，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合的一点，点 $\text{[math]}$ 是对角线 $\text{[math]}$ 上与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合的一点．
  当 $\text{[math]}$ [线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ] $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的取值范围为；
4. （4）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ （结果用含 $\text{[math]}$ 的式子表示）；
5. （5）【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为 $\text{[math]}$ 米，请直接写出所需彩绳的长度．
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28. (2023八下·深圳期末) 在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （E、F分别为边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点）， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 延长线于点M， $\text{[math]}$ 的延长线交 $\text{[math]}$ 延长线于点N．
1. （1）如图①，若四边形 $\text{[math]}$ 是正方形，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图②，若四边形 $\text{[math]}$ 是菱形，
  ①（1）中的结论是否依然成立？请说明理由；
  
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长．
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29. (2023八下·南山期末) [知识链接]，“化归思想”是数学学习中常用的一种探究新知、解决问题的基本的数学思想方法，通过“转化、化归”通常可以实现化未知为已知，化复杂为简单，从而使问题得以解决．在探究平行四边形的性质时，学习小组利用这种思想方法，发现并证明了如下有趣结论，平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．请你根据学习小组的思路，完成下列问题：
1. （1） [问题发现]：如图1，学习小组首先通过对特殊平行四边形——矩形（长方形）的研究发现在矩形ABCD中令AB＝a，BC＝b，则可求得AC²+BD²＝；（用a、b的式子表示）
2. （2） [问题探究]：如图2，学习小组通过添加辅助线，尝试将平行四边形转化为矩形，继续对一般平行四边形ABCD进行研究，如图：分别过点A、D作BC边的垂线，请你按照这种思路证明AC²+BD²＝2（AB²+BC²）；
3. （3） [问题拓展]：如图3，在△ABC中，AD是BC边上的中线，已知：AD＝3，BC＝8，（AB-AC）²＝10，请你添加合适的辅助线，构造平行四边形进行转化，求AB•AC的值．
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