浙教版数学九上章末重难点专训二次函数综合-面积问题

更新时间：2024-07-24 浏览次数：57 类型：单元试卷

一、解答题

1. (2024·福建) 如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求二次函数的表达式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是二次函数图象上的一点，且点 $\text{[math]}$ 在第二象限，线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ 的面积是 $\text{[math]}$ 的面积的2倍，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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2. (2023九下·湘桥期末) 如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板 $\text{[math]}$ 放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，直角顶点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ，点Ｂ在抛物线 $\text{[math]}$ 上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积；
（3）在抛物线上是否还存在点 $\text{[math]}$ （点B除外），使 $\text{[math]}$ 仍然是以 $\text{[math]}$ 为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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3. (2024·扬州) $\text{[math]}$ 本小题 $\text{[math]}$ 分 $\text{[math]}$
如图，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值．
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在该二次函数的图象上，且 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求点 $\text{[math]}$ 的坐标．
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二、实践探究题

4. (2024·山西) 综合与实践
问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图 $\text{[math]}$ 米，AB的垂直平分线与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，与AB交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是抛物线的顶点，且 $\text{[math]}$ 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ．用篱笆沿线段AC，BC分隔出 $\text{[math]}$ 区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点 $\text{[math]}$ （不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E．用䈑笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 $\text{[math]}$ 区域的分隔后，发现仅剩6米蓠笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定DE与CF的长．为此，欣欣在图2中以AB所在直线为 $\text{[math]}$ 轴，OP所在直线为 $\text{[math]}$ 轴建立平面直角坐标系，请按照她的方法解决问题：
1. （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
2. （2）求6米材料恰好用完时DE与CF的长；
3. （3）种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在AC，BC上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
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5. (2024·巴东模拟) 如图，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ 为第四象限的抛物线上一动点．
1. （1）直接写出抛物线的函数表达式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，当四边形 $\text{[math]}$ 的面积为9时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）请完成以下探究．
  【动手操作】作直线 $\text{[math]}$ ，交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的垂线，分别交直线 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
  【猜想证明】随着点 $\text{[math]}$ 的运动，线段 $\text{[math]}$ 的长是否为定值？若是，请直接写出该定值并证明；若不是，请说明理由．
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6. (2024九下·丰城期中) 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究 $\text{[math]}$ 型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点 $\text{[math]}$ 的距离PF ，始终等于它到定直线1： $\text{[math]}$ 的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线， $\text{[math]}$ 叫做抛物线的准线的表达式．准线l与y轴的交点为H ．其中原点O为FH的中点， $\text{[math]}$ ．
例如，抛物线 $\text{[math]}$ ，其焦点坐标为 $\text{[math]}$ ，准线表达式为l： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）【基础训练】请分别直接写出抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点坐标和准线l的表达式；
2. （2）【技能训练】如图2，已知抛物线 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的坐标；
3. （3）【能力提升】
  如图3，已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，准线为l ．直线m： $\text{[math]}$ 交y轴于点C ，抛物线上动点P到x轴的距离为 $\text{[math]}$ ，到直线m的距离为 $\text{[math]}$ ，请直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值；
4. （4）【拓展延伸】把抛物线 $\text{[math]}$ 沿y轴向下平移2个单位得抛物线 $\text{[math]}$ ，如图4，点 $\text{[math]}$ 是第二象限内一定点，点P是抛物线 $\text{[math]}$ 上一动点．当 $\text{[math]}$ 取最小值时，请求出△POD的面积．
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三、综合题

7. (2024·黑龙江) 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C ，其中B（1，0），C（0，3）．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得△APC的面积最大．若存在，请直接写出点P坐标和△APC的面积最大值；若不存在，请说明理由．
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8. (2024·眉山) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 在第二象限内，且 $\text{[math]}$ 的面积为3时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）在直线 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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9. (2024·凉山州) 如图，抛物线y＝﹣x²+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D ，交直线AB于点E ，当PE＝2ED时，求P点坐标；
3. （3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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10. (2024·遂宁) 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴分别交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点 $\text{[math]}$ ， P ， Q为抛物线上的两点.
1. （1）求二次函数的表达式；
2. （2）当P ， C两点关于抛物线对轴对称， $\text{[math]}$ 是以点P为直角顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
3. （3）设P的横坐标为m ， Q的横坐标为 $\text{[math]}$ ，试探究： $\text{[math]}$ 的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.
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11. (2024九下·吉安月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x 轴相交于点 A，点B，与y轴相交于点 C.
1. （1）请直接写出点 A，B，C 的坐标；
2. （2）点P(m，n)(0<m<6)在抛物线上，当m 取何值时，△PBC的面积最大? 并求出. △PBC面积的最大值；
3. （3） F是抛物线上的动点，作 FE//AC 交x轴于点E，是否存在点 F，使得以A，C，E，F 为顶点的四边形是平行四边形? 若存在，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
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12. (2024·重庆市模拟) 如图1，已知抛物线 $\text{[math]}$ （a ， b为常数， $\text{[math]}$ ）经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于
点C ．
1. （1）求该抛物线的解析式；
2. （2）如图2，若点P为第二象限内抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积和最大时，求点P的坐标及此时 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积和；
3. （3）如图3，点Q是抛物线上一点，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求点Q的坐标．
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