2024年高考真题分类汇编九空间向量与立体几何

更新时间：2024-10-14 浏览次数：31 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2024·天津) 若a，b为两条直线， $\text{[math]}$ 为一个平面，则下列结论中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交

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2. (2024·上海) 空间中有两个不同的平面α，β和两条不同的直线m ， n ，则下列说法中正确的是（）

A . 若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B . 若α⊥β，m⊥α，m⊥n ，则n⊥β C . 若α∥β，m∥α，n∥β，则m∥n D . 若α∥β，m∥α，m∥n ，则n∥β

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3. (2024·全国甲卷) 已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m ．下列四个命题：
①若m∥n ，则n∥α或n∥β
②若m⊥n ，则n⊥α，n⊥β
③若n∥α，且n∥β，则m∥n
④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n
其中，所有真命题的编号是（）

A . ①③ B . ②③ C . ①②③ D . ①③④

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4. (2024·北京) 已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为4，4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该四棱锥的高为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2024·新课标Ⅱ卷) 已知正三棱台 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面ABC所成角的正切值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 3

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6. (2024高三上·南昌月考) 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 $\text{[math]}$ ，则圆锥的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024·天津) 一个五面体 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，且两两之间距离为1.并已知 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .则该五面体的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2024·上海) 定义一个集合 $\text{[math]}$ ，集合中的元素是空间内的点集，任取 $\text{[math]}$ ，存在不全为0的实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ .已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的充分条件是( )

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

9. (2024·北京) 已知三个圆柱的体积为公比为10的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为．

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10. (2024·上海) 已知四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁底面ABCD为平行四边形，AA₁＝3，BD＝4且 $\text{[math]}$ ，求异面直线AA₁与BD的夹角．

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11. (2024·全国甲卷) 已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r₂和r₁ ，母线长分别为2（r₁﹣r₂）和3（r₁﹣r₂），则两个圆台的体积之比 $\text{[math]}$ ＝．

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三、解答题

12. (2024·北京) 已知四棱锥P-ABCD ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E是 $\text{[math]}$ 上一点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若F是PE中点，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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13. (2024·天津) 已知四棱锥ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，A₁A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA₁=2，AD=DC=1．N是B₁C₁的中点，M是DD₁的中点．
1. （1）求证 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的夹角余弦值；
3. （3）求点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离.
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14. (2024·新课标Ⅱ卷) 如图，平面四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ，点E，F满足 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿EF翻折至 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ．
2. （2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值.
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15. (2024·全国甲卷) 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2， $\text{[math]}$ ， FB= $\text{[math]}$ ， M为AD的中点.
1. （1）证明：BM∥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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16. (2024·全国甲卷) 如图，在以A ， B ， C ， D ， E ， F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD ， CD∥EF ， AB＝DE＝EF＝CF＝2，CD＝4， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， M为CD的中点．
1. （1）证明：EM∥平面BCF；
2. （2）求点M到ADE的距离．
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17. (2024·上海) 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB＝AC ．
1. （1）证明：PA⊥BC；
2. （2）若圆锥侧面积为 $\text{[math]}$ ， BC为底面直径，BC＝2，求二面角B﹣PA﹣C的大小．
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18. (2024·新高考Ⅰ卷) 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD ， PA＝AC＝2，BC＝1，AB＝ $\text{[math]}$ ．
1. （1）若AD⊥PB ，证明：AD∥平面PBC；
2. （2）若AD⊥DC ，且二面角A﹣CP﹣D的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求AD ．
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19. (2024·上海) 如图为正四棱锥 $\text{[math]}$ ， O为底面ABCD的中心.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 绕PO旋转一周形成的几何体的体积；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， E为PB的中点，求直线BD与平面AEC所成角的大小.
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