高中数学人教A版（2019）必修二 8.3 棱柱、棱锥...

更新时间：2021-04-30 浏览次数：176 类型：同步测试

一、单选题

1. (2021·咸阳模拟) 在直三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若该直三棱柱的外接球表面积为 $\text{[math]}$ ，则此直三棱柱的高为（）．

A . 4 B . 3 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2021·吕梁模拟) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是矩形，侧面 $\text{[math]}$ 是正三角形，且侧面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若四棱锥 $\text{[math]}$ 外接球的体积为 $\text{[math]}$ ，则该四棱锥的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·晋中模拟) 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，侧棱 $\text{[math]}$ ，若侧面 $\text{[math]}$ 水平放置时，水面恰好过 $\text{[math]}$ 的中点，那么当底面 $\text{[math]}$ 水平放置时，水面高为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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4. (2024高一下·黔西南月考) 已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在半径为5的球面上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为球面上的动点，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2021·安徽模拟) 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为正方形 $\text{[math]}$ 的中心， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，则四面体 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2021·焦作模拟) 如图，位于西安大慈恩寺的大雁塔，是唐代玄奘法师为保存经卷佛像而主持修建的，是我国现存最早的四方楼阁式砖塔．塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为 $\text{[math]}$ ，则该正四棱锥的一个侧面与底面的面积之比为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·大庆模拟) 已知四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为矩形，点 $\text{[math]}$ 在平面 $\text{[math]}$ 上的射影为 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则四棱锥 $\text{[math]}$ 的表面积等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. (2022高一下·和平期末) 已知正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为2，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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9. (2021·潍坊模拟) 某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 $\text{[math]}$ 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）

A . 144 B . 72 C . 36 D . 24

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二、多选题

10. (2021·滨州模拟) 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体的棱长不全相等，则其体积的值可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2021·邯郸模拟) 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为 $\text{[math]}$ ，这个角接近 $\text{[math]}$ ，若取 $\text{[math]}$ ，侧棱长为 $\text{[math]}$ 米，则（）

A . 正四棱锥的底面边长为6米 B . 正四棱锥的底面边长为3米 C . 正四棱锥的侧面积为 $\text{[math]}$ 平方米 D . 正四棱锥的侧面积为 $\text{[math]}$ 平方米

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三、填空题

12. (2022高一下·阳信期中) 如图，长方体 $\text{[math]}$ 的体积是120，E为 $\text{[math]}$ 的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.

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13. (2021·奉贤模拟) 在棱长为 $\text{[math]}$ 的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ （不包括端点）上的动点，且线段 $\text{[math]}$ 平行于平面 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 的体积的最大值是.

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14. (2020·南昌模拟) 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为3的等边三角形，点M是 $\text{[math]}$ 的重心，过点M作与平面PAC垂直的平面 $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 与截面PAC交线段的长度为2，则平面 $\text{[math]}$ 与正四棱椎 $\text{[math]}$ 表面交线所围成的封闭图形的面积可能为.（请将可能的结果序号填到横线上）①2；② $\text{[math]}$ ；③3； ④ $\text{[math]}$ .

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15. (2020高三上·菏泽期末) 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 距离之比 $\text{[math]}$ 是常数的点的轨迹是一个圆心在直线 $\text{[math]}$ 上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是正方体的表面 $\text{[math]}$ (包括边界)上的动点，若动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 所形成的阿氏圆的半径为；若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，且满足 $\text{[math]}$ ，则三棱锥 $\text{[math]}$ 体积的最大值是.

阿波罗尼奥斯

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16. (2020高二上·玉溪期中) 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图在堑堵 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .下述四个结论正确结论的编号是.

①四棱锥 $\text{[math]}$ 为“阳马”

②四面体 $\text{[math]}$ 为“鳖臑”

③过 $\text{[math]}$ 点分别作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

④四棱锥 $\text{[math]}$ 体积最大为 $\text{[math]}$

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17. (2020高三上·镇江期中) 在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为 $\text{[math]}$ 的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为.

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18. (2020·南京模拟) 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，底面边长为2，则侧棱 $\text{[math]}$ 的长为．

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四、解答题

19. (2020高二上·永安月考) 如图，已知四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，侧面积为 $\text{[math]}$ ，求其体积

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20. (2020高二上·通化期中) 长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ =12， $\text{[math]}$ =10， $\text{[math]}$ =6，过 $\text{[math]}$ 作长方体的截面 $\text{[math]}$ 使它成为正方形，
1. （1）求截面 $\text{[math]}$ 将正方体分成的两部分的体积比；
2. （2）求 $\text{[math]}$
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21. (2020高二下·上海期末) 如图，为正六棱柱 $\text{[math]}$ ，底面边长 $\text{[math]}$ ，高 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求异面直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的大小；
2. （2）计算四面体 $\text{[math]}$ 的体积（用 $\text{[math]}$ 来表示）；
3. （3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长a和高h满足： $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为定值），则当底面边长a和高h分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？
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