浙教版备考2022年中考数学一轮复习专题44 定义新运算

更新时间：2022-01-13 浏览次数：145 类型：一轮复习

一、单选题

1. (2024七上·益阳开学考) 若“！”是一种数学运算符号，并且1!=1， 2!=2 $\text{[math]}$ 1=2， 3!=3 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ 1=6，……，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 99！ C . 9900 D . 2！

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2. (2021七上·陵城期中) 现规定一种新运算“*”：a*b＝（a﹣b）﹣|b﹣a|．则（﹣3）*2的值为（ )

A . 10 B . 0 C . -10 D . 12

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3. (2021七上·诸暨月考) 对于有理数a、b定义一种新运算“⊙"；规定： a⊙b =|a+b|+|a-b|则2⊙(-4)的值为（）

A . 8 B . 6 C . 4 D . 2

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4. (2021八下·余姚期末) 已知a ， b是实数，定义：a※b＝ab+a+b ．若m是常数x※（mx）＝﹣1，下列说法正确的是（）

A . 方程一定有实数根 B . 当m取某些值时，方程没有实数根 C . 方程一定有两个实数根 D . 方程一定有两个不相等的实数根

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5. (2021·南湖模拟) 若存在一条线段把一个图形分钢成两个部分，使其中一个部分绕该线段中点旋转 $\text{[math]}$ 后能与另一个部分重合，则我们把这个图形叫做旋转重合图形.下列图形中，属于旋转重合图形的是（）

A . 直角三角形 B . 等边三角形 C . 平行四边形 D . 正五边形

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6. 现规定一种运算：a※b=ab+a-b，其中a，b为实数，则 $\text{[math]}$ ※ $\text{[math]}$ 等于（）

A . -6 B . -2 C . 2 D . 6

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7. 任意实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[ $\text{[math]}$ ]=1，现对72进行如下操作：72→[ $\text{[math]}$ ]=8→[ $\text{[math]}$ ]=2→[ $\text{[math]}$ ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地：对数字900进行了n次操作后变为1，那么n的值为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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8. (2019八上·房山期中) 定义运算 $\text{[math]}$ ，若p≠1，q≠1，则下列等式中不正确的是（）

A . B . C . D .

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9. 刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当有理数对（a，b）进入其中时，会得到一个新有理数：a²+b+1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到3²+（-2）+1=8．现将数对（-m，n）和数对（m，-n）分别放入其中，若得到的新有理数的值分别为x和y，则（x+y）是（）

A . 正数 B . 非负数 C . 0 D . 负数

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10. 定义运算a⊕b=a（1﹣b），下面给出了这种运算的四个结论：①2⊕（﹣2）=6；②若a+b=0，则（a⊕a）+（b⊕b）=2ab；③a⊕b=b⊕a；④若a⊕b=0，则a=0或b=1．其中结论正确的有（）

A . ①② B . ①②③ C . ②③④ D . ①②④

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二、填空题

11. (2021七上·绍兴期中) 符号“ $\text{[math]}$ ”表示和，如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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12. (2021七上·新昌期中) 对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“*”为（a，b）*（c，d）＝（ac，bd）；运算“⨁”为（a，b）⨁（c，d）＝（a+c，b+d）．若（1，2）*（p，q）＝（2，﹣4），则（1，2）⨁（p，q）＝．

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13. 我们把[a，b]称为-次函数y=ax+b的“特征数”．如果“特征数"是[2，n+1]的一次函数为正比例函数，则n的值为

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14. 定义：[a，b，c]为函数y=ax²+bx+c(a，b，c为实数)的“关联数”．若“关联数”为[m-2，m，1]的函数为一次函数，则m的值为

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15. 在实数的原有运算法则中，我们补充新运算法则“*”如下：当a≥b时，a*b=b²；当a<b时，a*b=a．那么，当x=2时，(1 * x)·x-(3* x)=(“·”和“-”仍为实数运算中的乘号和减号)

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16. (2021七上·金华期中) 材料一：对于个位数字不为零的任意三位数M，将其个位数字与百位数字对调得到M'，则称M'为M的“倒序数”，将一个数与它的“倒序数”的差的绝对值与99的商记为 $\text{[math]}$ ．
例如523为325的“倒序数”， $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ＝2；

材料二：对于任意三位数 $\text{[math]}$ 满足，c＞a，则称这个数为“登高数”．
1. （1） $\text{[math]}$ ＝；
2. （2）任意三位数M＝ $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值是．
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三、综合题

17. (2021七上·嵊州期中) 符号“ $\text{[math]}$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法规为： $\text{[math]}$ =ad-bc
1. （1）计算： $\text{[math]}$ =；（直接写出答案）
2. （2）化简二阶行列式： $\text{[math]}$
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18. 定义新运算：a $\text{[math]}$ b=a(1-b) ，其中等号右边是常规的乘法和减法运算，例如：(-1) $\text{[math]}$ 1=(-1)×(1-1)=0．
1. （1）计算：(1+ $\text{[math]}$ ) $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ；
2. （2）小嘉说：“若a+b=0，则a $\text{[math]}$ a+b $\text{[math]}$ b= 2ab．”你是否同意他的观点？请说明理由．
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19. 在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积的数值相等，则这个点叫做和谐点，如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形OAPB的周长与面积的数值相等，则点P是和谐点．
1. （1）请判断点M(1，3)，N(3，6)是不是和谐点，并说明理由；
2. （2）若和谐点P(a，3)在直线y=x+3b(b为常数)上，求a、b的值．
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20. 先阅读下面一段文字，再回答后面的问题：已知在平面直角坐标系内两点P₁(x₁ ， y₁) ，P₂(x₂ ， y₂)，P₁、P₂两点间的距离P₁P₂= $\text{[math]}$ ，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x₂-x₁|或|y₂-y₁| ．
1. （1）已知A(1，3) ，B(-3，-5) ，试求A ，B两点间的距离；
2. （2）已知线段MN∥y轴，MN=4，若点M的坐标为(2，-1)，试求点N的坐标；
3. （3）已知三角形DEF各顶点的坐标分别为D(0，6)，E(-3，2)，F(3，2) ，请判断该三角形的形状，并说明理由．
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21. 请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题：
1. （1）如果x=-5，2⊙4=-18，求y的值；
2. （2）若1⊙1=8，4⊙2=20，求x，y的值.
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22. (2018七上·桥东期中) 对于任意四个有理数a ， b ， c ， d ，可以组成两个有理数对（a ， b）与（c ， d）．规定：（a ， b）★（c ， d）=ad－bc ．如：（1，2）★（3，4）=1×4－2×3=－2．
根据上述规定解决下列问题：
1. （1）有理数对（5，－3）★（3，2）=；
2. （2）若有理数对（－3，x－1）★（2，2x+1）=15，则x=；
3. （3）若有理数对（2，x－1）★（k ， 2x＋k）的值与x的取值无关，求k的值．
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23. 对于有理数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，规定一种新运算： $\text{[math]}$ ．
1. （1）计算： $\text{[math]}$
2. （2）若方程 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）计算： $\text{[math]}$ 的值．
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24. (2021九上·宁波期中) 我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA $\text{[math]}$ ，容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
1. （1） sad60°＝，sad120°＝
2. （2）如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，已知sinA $\text{[math]}$ ，试求sadA的值．
3. （3）直线y $\text{[math]}$ x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，点M，N分别在线段AB，OA上，且△MON是等腰三角形，设△MON的顶角为θ，当sadθ $\text{[math]}$ 时，求点M的坐标．（请直接㝍出结果）
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25. (2021九上·宁波期中) 定义：在一个三角形中，若存在两条边x和y，使得 $\text{[math]}$ ，则称此三角形为“平方三角形”，x称为平方边.
1. （1） “若等边三角形为平方三角形，则面积为 $\text{[math]}$ ”是命题；“有一个角为30°且有一条直角边为2的直角三角形是平方三角形”是命题；（填“真”或“假”）
2. （2）如图，在△ABC中，D是BC上一点，若∠CAD=∠B，CD=1，求证：△ABC为平方三角形；
3. （3）若a，b，c是平方三角形的三条边，平方边a=2，若三角形中存在一个角为60°，求c的值.
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26. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x₁ ， y₁)，点Q的坐标为(x₁ ， y₂)，且x₁≠x₂ ， y₁≠y₂ ，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“衍生矩形”．图为点P，Q的“衍生矩形”的示意图．
1. （1）已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(2，4)，求点A，B的“衍生矩形”的面积；
2. （2）已知点A的坐标为(-1，0)，点C在直线x=2上，若点A，C的“衍生矩形"为正方形，求直线AC的解析式
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27. 阅读下面的文字，解答问题：
大家知道 $\text{[math]}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\text{[math]}$ 的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用 $\text{[math]}$ -1来表示 $\text{[math]}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？．

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\text{[math]}$ 的整数部分是1，将 $\text{[math]}$ 减去其整数部分，差就是 $\text{[math]}$ 的小数部分．

例如： $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ < $\text{[math]}$ ，即2< $\text{[math]}$ <3， $\text{[math]}$ 的整数部分为2，小数部分为 $\text{[math]}$ -2．请解答：
1. （1） $\text{[math]}$ 的整数部分是，小数部分是；
2. （2）如果 $\text{[math]}$ 的小数部分为a， $\text{[math]}$ 的整数部分为b，求a+b- $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知10+ $\text{[math]}$ =x+y，其中x是整数，且0<y<1，求x-y的相反数．
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28. 在实数范围内，方程x²=﹣1无解，为使开方运算在负数范围内可以进行，我们规定i²=﹣1．定义一种新数：Z=a+bi（{a、b为实数}），并规定实数范围内的所有运算法则对于新数Z=a+bi（{a、b为实数}）；仍然成立．例如：Z²=（a+bi）²=（a+bi）•（a+bi）=a²+2a•bi+（bi）²=a²﹣b²+2abi，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，依据上述规定，
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，试求Z³的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，试求z²⁰⁰⁸的值．
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29. 在一个m（m≥3，m为整数）位的正整数中，若从左到右第n（n≤m，n为正整数）位上的数字与从右到左第n位上的数字之和都等于同一个常数k（k为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”，其中k=12．
1. （1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s（1≤s≤9，s为整数），百位上的数字为t（0≤t≤9，t为整数）， $\text{[math]}$ 是整数，求这个四位“对称等和数”；
2. （2）已知数A，数B，数C都是三位“对称等和数”．A= $\text{[math]}$ （1≤a≤9，a为整数），设数B十位上的数字为x（0≤x≤9，x为整数），数C十位上的数字为y（0≤y≤9，y为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．
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