浙教版备考2023年中考数学一轮复习10.定义新运算

更新时间：2022-11-26 浏览次数：79 类型：一轮复习

一、单选题（每题3分，共30分）

1. (2022七上·杭州期中) 对有理数a ， b ，规定运算如下： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . 4

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2. (2022·义乌期中) 在明代的《算法统宗》一书中将用格子的方法计算两个数相乘称作“铺地锦”，如图1，计算 $\text{[math]}$ ，将乘数82记入上行，乘数34记入右行，然后用乘数82的每位数字乘以乘数34的每位数字，将结果记入相应的格子中，最后按斜行加起来，既得2788．如图2，用“铺地锦”的方法表示两个两位数相乘，下列结论错误的是（）

A . b的值为6 B . a为奇数 C . a的值大于3 D . 乘积结果可以表示为 $\text{[math]}$

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3. (2022七上·青州期中) 定义运算 $\text{[math]}$ ，下面关于这种运算的四个结论是“我爱数学”学习小组给出的，其中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2022七上·衢江月考) 数学上，为了简便把1到n的连续n个自然数的和记作 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ；把1到n的连续n个自然数的乘积记作n！，即n！＝1×2×3×…×（n﹣1）×n；则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 0 B . 1 C . 2020 D . 2021

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5. (2022八上·昌平期中) 张华在一次数学活动中，利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”的结论，推导出“式子 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ ”．其推导方法如下：在面积是 $\text{[math]}$ 的矩形中设矩形的一边长为 $\text{[math]}$ ，则另一边长是 $\text{[math]}$ ，矩形的周长是 $\text{[math]}$ ；当矩形成为正方形时，就有 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，这时矩形的周长 $\text{[math]}$ 最小，因此 $\text{[math]}$ 的最小值是 $\text{[math]}$ ．模仿张华的推导，你求得式子 $\text{[math]}$ 的最小值是（）．

A . 2 B . 4 C . 6 D . 8

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6. (2022九上·长汀月考) 定义一种新运算：a♣b=a（a﹣b），例如，4♣3=4×（4﹣3）=4，若x♣2=3，则x的值是（）

A . x=3 B . x=﹣1 C . x1=3，x2=1 D . x1=3，x2=﹣1

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7. (2022九上·永年月考) 将4个数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 排成2行、2列，两边各加一条竖线，记成 $\text{[math]}$ ，并规定 $\text{[math]}$ 例如 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的根的情况为（）

A . 只有一个实数根 B . 有两个相等的实数根 C . 有两个不相等的实数根 D . 没有实数根

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8. (2022八下·雨花期末) 某同学根据二维码的原理设计了一个方形码的运算：如图，在3×3的正方形网格中，黑色格子表示1，白色格子表示0，每一行都按f（x）＝ax²﹣bx+c进行计算，其中x代表第几行，a代表每一行的第一个格子，b代表每一行的第二个格子，c代表每一行的第三个格子．例如：f（1）＝1×1²﹣0×1+1＝2，f（2）＝0×2²﹣1×2+1＝﹣1，则f（3）的值是（）

A . 0 B . 2 C . 6 D . 7

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9. (2022八下·泉州期末) 定义新运算： $\text{[math]}$ 例： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .则函数 $\text{[math]}$ 的图象大致是（）

A . B . C . D .

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10. (2021九上·杭州期中) 已知y₁和y₂均是以x为自变量的函数，当x＝m时，函数值分别是M₁和M₂ ，若存在实数m，使得M₁+M₂＝1，则称函数y₁和y₂具有性质P.以下函数y₁和y₂不具有性质P的是（）

A . y₁＝x²+2x和y₂＝﹣x﹣1 B . y₁＝x²+2x和y₂＝﹣x+1 C . y₁＝﹣ $\text{[math]}$ 和y₂＝﹣x﹣1 D . y₁＝﹣ $\text{[math]}$ 和y₂＝﹣x+1

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二、填空题（每题3分，共18分）

11. (2022七上·杭州期中) 对于实数，我们规定 $\text{[math]}$ 表示不大于 $\text{[math]}$ 的最大整数，如 $\text{[math]}$ ，现对82进行如下操作： $\text{[math]}$ ，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对400只需进行次操作后变为1.

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12. (2022八上·济南期中) 平面直角坐标系中，若点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，点Q的坐标为 $\text{[math]}$ ，其中m为常数，则称点Q是点P的m级派生点，例如点 $\text{[math]}$ 的3级派生点是 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ．如图点 $\text{[math]}$ 是点 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 级派生点，点A在x轴正半轴上，且 $\text{[math]}$ ，则点A的坐标为．

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13. (2022七上·长清期中) 我们把对非负数x “四舍五入”到个位的值记为 $\text{[math]}$ ，即当n为非负整数时，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，例如 $\text{[math]}$ 下列结论中：① $\text{[math]}$ ；②当m为非负整数时， $\text{[math]}$ ；③满足 $\text{[math]}$ 的非负整数x只有两个．其中结论正确的是(填序号)

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14. (2022八上·下城月考) 对于实数x，y，我们定义符号min{x，y}的意义为：当x＜y时，min{x，y}＝x；当x≥y时，min{x，y}＝y，如：min{6，﹣4}＝﹣4，min{4，4}＝4，min{ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ } $\text{[math]}$ 时，则x的取值范围为．

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15. (2022·义安模拟) 在吉他弹奏中，不同的琴弦长度和绷紧力度会决定不同的音色，比如在相同的力度情况下，运用长度比 $\text{[math]}$ 的琴弦时，进行敲击，会发出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 这三个调和的乐音．从数学角度看，会发现这样一个规律 $\text{[math]}$ ，我们把 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 称之为一组调和数，若以下有一组调和数：x、5、 $\text{[math]}$ ，那么x=．

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16. (2022·路桥模拟) 定义：若一个两位数k，满足 $\text{[math]}$ （m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记 $\text{[math]}$ .例如： $\text{[math]}$ ，则39是一个“类完全平方数”，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）已知37是一个“类完全平方数”，则 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且 $\text{[math]}$ ，则a的最大值=.
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三、综合题

17. (2021八上·深圳月考) 若 $\text{[math]}$ 表示不超过x的最大整数（如 $\text{[math]}$ 等），求 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的值．

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18. (2022七下·延津期末) 定义一种新的算法： $\text{[math]}$ ，如 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求a，b的值．

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19. (2023九上·潮南月考) 定义新运算：对于任意实数m，n都有m☆n＝m²n＋n，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算. 例如：－3☆2＝(－3)²×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a的值小于0，请判断方程：2x²－bx＋a＝0的根的情况.

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20. (2022八上·丰城期中) 如果 $\text{[math]}$ ，那么我们规定 $\text{[math]}$ ，例如：因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
1. （1）根据上述规定，填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ ．
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21. (2022·义乌期中) 我们知道，若点A、B在数轴上分别表示数x，y，则A、B两点间距离可表示为 $\text{[math]}$ ．下面给出如下定义：对于实数a，b，n，d，若 $\text{[math]}$ ，则称a和b关于n的“相对关系值”为d，例如： $\text{[math]}$ 则2和3关于1的“相对关系值”为3．
1. （1） −3和5关于1的“相对关系值”为：
2. （2）若a和2关于1的“相对关系值”为4，求a的值．
3. （3）若2和4关于x的“相对关系值”为10，求x的值．
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22. (2022八上·昌平期中) 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是“和谐分式”．
1. （1）下列分式中，属于“和谐分式”的是（填序号）；
  ① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ ③ $\text{[math]}$ ④ $\text{[math]}$
2. （2）请将“和谐分式” $\text{[math]}$ 化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，并写出化简过程；
3. （3）应用：先化简 $\text{[math]}$ ，并求x取什么整数时，该式的值为整数．
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23. (2022七上·青州期中) 观察下列两个等式： $\text{[math]}$ ，给出定义如下：我们称使等式 $\text{[math]}$ 成立的一对有理数a，b为“共生有理数对”，记为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）通过计算判断有理数对“-2，1”、“4， $\text{[math]}$ ”是不是“共生有理数对”；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是“共生有理数对”，求a的值．
3. （3）若 $\text{[math]}$ 是“共生有理数对”，则“n，m”是不是 “共生有理数对”．
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24. (2022·婺城模拟) 定义：对于两个关于x的函数y₁ ， y₂.如果x=t，两个函数的函数值相等，即y₁=y₂ ，那么称y₁ ， y₂互为“等值函数”，其中x=t叫做函数y₁ ， y₂的“等值根”.例如：对于函数 $\text{[math]}$ .当x=1时，y₁=y₂=2.因此y₁ ， y₂互为“等值函数”，x=1是这两个函数的“等值根”.
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ （填“是”或“不是”）“等值函数”；
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .函数y₂的图象如图所示.
  ①若 $\text{[math]}$ ，求y₁与y₂的“等值根”；
  ②若y₁与y₂只存在一个“等值根”，则k的取值范围为 ▲ 。
  ③若函数y₁与y₃互为“等值函数”，且有两个“等值根”，请直接写出k的取值范围.
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25. (2022·金东模拟) 定义：已知，一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ （k为实数）则y称 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“k函数”.
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“2函数”为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的解析式.
2. （2）设一次函数 $\text{[math]}$ 和二次函数 $\text{[math]}$ .
  ①求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“k函数”解析式（用含k的代数式表示）.
  ②不论k取何值， $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“k函数”是否都过某定点，若是求出定点坐标；若否，请说明理由.
  ③不论k取何值，若二次函数 $\text{[math]}$ 上的点P关于x轴对称的点Q始终在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“k函数”上，求点P坐标.
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26. (2022八下·花都期末) 读一读
“数形结合”是一种重要的数学思想，其简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想．具体地说就是将抽象数学语言与直观图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题．在中学数学的解题中，主要有三种类型：以数化形、以形变数、形数互变．
研一研
【定义】在平面直角坐标系xOy中，如果点A，C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A，C在直线y＝x上，那么称该菱形为点A，C的“最佳菱形”．如图是点A，C的“最佳菱形”的一个示意图．
1. （1）【运用】已知点M的坐标为（2，2），点P的坐标为（4，4）．
  下列各组点，能与点M，P形成“最佳菱形”的是．
  ①E（3，4），F（4，3） ②G（2，3），H（3，2） ③I（2，4），J（4，2）
2. （2）如果四边形MNPQ是点M，P的“最佳菱形”．
  ①当点N的坐标为（6，0）时，求四边形MNPQ的面积；
  ②当四边形MNPQ的面积为16，且与直线y＝x＋b有公共点时，求b的取值范围．
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