备考2023年中考数学压轴题训练 ——二次函数（7）

更新时间：2023-05-14 浏览次数：150 类型：三轮冲刺

一、真题

1. (2022·遂宁) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；
3. （3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标.
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2. (2022·德阳) 抛物线的解析式是 $\text{[math]}$ .直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 与直线上的点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称.
1. （1）如图①，求射线 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）在（1）的条件下，当抛物线与折线 $\text{[math]}$ 有两个交点时，设两个交点的横坐标是x₁ ， x₂（ $\text{[math]}$ ），求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）如图②，当抛物线经过点 $\text{[math]}$ 时，分别与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧.在 $\text{[math]}$ 轴上方的抛物线上有一动点 $\text{[math]}$ ，设射线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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3. (2022·自贡) 已知二次函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且函数图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与 $\text{[math]}$ 轴交点及顶点的坐标；
2. （2）在图①中画出⑴中函数的大致图象，并根据图象写出函数值 $\text{[math]}$ 时自变量 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，一元二次方程 $\text{[math]}$ 两根之差等于 $\text{[math]}$ ，函数图象经过 $\text{[math]}$ 两点，试比较 $\text{[math]}$ 的大小 .
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4. (2024·揭西模拟) 在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）如图1，若点 $\text{[math]}$ 是第二象限内抛物线上一动点，求点 $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 距离的最大值；
3. （3）如图2，若点 $\text{[math]}$ 是抛物线上一点，点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上一点，是否存在点 $\text{[math]}$ 使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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5. (2022·乐山) 如图1，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求二次函数的解析式；
2. （2）如图2，过点C作 $\text{[math]}$ 轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
3. （3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q.设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示 $\text{[math]}$ 的值，并求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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6. (2022·广元) 在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax²+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C.
1. （1）求a，b满足的关系式及c的值；
2. （2）当a＝ $\text{[math]}$ 时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；
3. （3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值.
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7. (2023九下·江夏月考) 如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与y轴交于点C.
1. （1）求该二次函数的表达式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ，在该二次函数图象上是否存在点P，使 $\text{[math]}$ ？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；
3. （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E.若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中， $\text{[math]}$ 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
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8. (2022·黔东南) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求此抛物线的解析式；
2. （2）已知点 $\text{[math]}$ 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出点 $\text{[math]}$ 的坐标，若不存在，请说明理由；
3. （3）已知点 $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由.
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9. (2022·毕节) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为 $\text{[math]}$ ，抛物线的对称轴交直线 $\text{[math]}$ 于点E.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）把上述抛物线沿它的对称轴向下平移，平移的距离为 $\text{[math]}$ ，在平移过程中，该抛物线与直线 $\text{[math]}$ 始终有交点，求h的最大值；
3. （3） M是（1）中抛物线上一点，N是直线 $\text{[math]}$ 上一点.是否存在以点D，E，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
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10. (2022·黔西) 如图，在平面直角坐标系中，经过点 $\text{[math]}$ 的直线AB与y轴交于点 $\text{[math]}$ ．经过原点O的抛物线 $\text{[math]}$ 交直线AB于点A，C，抛物线的顶点为D．
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2） M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当 $\text{[math]}$ 轴且 $\text{[math]}$ 时，求点M的坐标；
3. （3） P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点．是否存在以点A，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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11. (2022·西藏) 在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
1. （1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
2. （2）如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
3. （3）如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S₁ ， △PEC的面积为S₂ ，是否存在点P，使得 $\text{[math]}$ 最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
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12. (2022·武威) 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是线段 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 上的动点（点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 重合）.
1. （1）求此抛物线的表达式；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ 并延长交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 轴，且 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）连接 $\text{[math]}$ .
  ①如图2，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 轴翻折得到 $\text{[math]}$ ，当点 $\text{[math]}$ 在抛物线上时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  
  ②如图3，连接 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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二、模拟预测

13. (2023·成都模拟) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线 $\text{[math]}$ 与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
1. （1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
2. （2）在（1）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ，点E在抛物线上，若 $\text{[math]}$ ，求出点E的坐标；
3. （3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线 $\text{[math]}$ ，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点为P，直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 交于M，N两点，连接 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求a的值．
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14. (2023·内江模拟) 如图，二次函数y＝-x²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝OC，点D在函数图象上，CD∥x轴且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.
1. （1）求b、c的值；
2. （2）如图1，连BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；
3. （3）如图2，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M、与抛物线交于点N.试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
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15. (2023·南充模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 不含端点 $\text{[math]}$ 上的动点，过 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴交抛物线于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线与直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 为定值；
3. （3）在第四象限内是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的平行四边形面积最大，若存在，求出 $\text{[math]}$ 点坐标；若不存在，请说明理由.
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16. (2023·新都模拟) 如图，抛物线y＝ax²+bx+c经过A（-6，0），OA＝3OB＝ $\text{[math]}$ OC，D为线段AC下方抛物线上一动点，过点D做DG⊥AC于G.
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）求△ACD面积的最大值；
3. （3）连接BC，是否存在点D，使得△CDG中有一个角与∠BCO相等？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
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17. (2023·四川模拟) 已知抛物线经过原点，交x轴于点A，抛物线上一点B，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点C，交y轴于点D，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， P为 $\text{[math]}$ 上的一动点.
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2） P在第一象限，且在抛物线内，设点P的横坐标为 $\text{[math]}$ .
  （ⅰ）若直线与抛物线交于点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴，求 $\text{[math]}$ 的值（用x的代数式表示）；
  （ⅱ）F在y轴的正半轴上，且 $\text{[math]}$ .连接 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交x轴于点H，交y轴于点G，过点P作 $\text{[math]}$ 交x轴于点I，过点I作y轴的平行线交于点J，连接 $\text{[math]}$ ，过点I作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点Q， $\text{[math]}$ 的角平分线交x轴于点M，过点M作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点L，过点L作 $\text{[math]}$ 于点N，若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标.
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18. (2023·游仙模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点（点 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 的左侧），与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，抛物线对称轴为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是第一象限抛物线上动点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线和直线 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）如图1，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值及此时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）如图2，设 $\text{[math]}$ ，在直线 $\text{[math]}$ 上方的抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恰好等于 $\text{[math]}$ ，若存在，求出点 $\text{[math]}$ 的横坐标；若不存在，请说明理由.
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19. (2022九下·凯里开学考) 如图，在直角坐标系中，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴、 $\text{[math]}$ 轴的交点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为对称轴的抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为 $\text{[math]}$ .设抛物线的对称轴 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ，求出当以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似时点 $\text{[math]}$ 的坐标；
3. （3）点 $\text{[math]}$ 是对称轴上任意一点，在抛物线上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使以点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，说明理由.
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20. (2023九上·安顺期末) 如图，已知抛物线y＝ $\text{[math]}$ +bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点 E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；
3. （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
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