2023年中考数学真题分类汇编（全国版）：二次函数（2）

更新时间：2023-07-27 浏览次数：127 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2023·河南) 二次函数 $\text{[math]}$ 的图象如图所示，则一次函数 $\text{[math]}$ 的图象一定不经过（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2023九上·乾安期中) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过正方形 $\text{[math]}$ 的三个顶点A，B，C，点B在 $\text{[math]}$ 轴上，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2023九上·东港月考) 如图，二次函数 $\text{[math]}$ 图象的一部分与x轴的一个交点坐标为 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，结合图象给出下列结论：

① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；

④关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根；

⑤若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在该二次函数图象上，则 $\text{[math]}$ .其中正确结论的个数是（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . 1

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4. 在平面直角坐标系中，二次函数 $\text{[math]}$ 为常数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ ，其对称轴在 $\text{[math]}$ 轴左侧，则该二次函数有（）

A . 最大值 $\text{[math]}$ B . 最大值 $\text{[math]}$ C . 最小值 $\text{[math]}$ D . 最小值 $\text{[math]}$

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5. 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，图象经过点 $\text{[math]}$ ，其对称轴为直线 $\text{[math]}$ ．下列结论：① $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均在二次函数图象上，则 $\text{[math]}$ ；③关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根；④满足 $\text{[math]}$ 的x的取值范围为 $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数为（）．

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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6. (2024九下·邵东模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是抛物线 $\text{[math]}$ （a是常数， $\text{[math]}$ 上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线 $\text{[math]}$ ；②点 $\text{[math]}$ 在抛物线上；③若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；④若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 其中，正确结论的个数为（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. 如图所示，直线l为二次函数 $\text{[math]}$ 的图像的对称轴，则下列说法正确的是（）

A . b恒大于0 B . a，b同号 C . a，b异号 D . 以上说法都不对

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8. (2024九下·江海期中) 拋物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴相交于点 $\text{[math]}$ ．下列结论：
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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二、填空题

9. (2024九上·青浦期中) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在该函数的图象上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为.

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10. (2024九上·白云期中) 抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴只有一个交点，则 $\text{[math]}$ ．

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11. (2023·无锡) 二次函数 $\text{[math]}$ 的图像与x轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线将 $\text{[math]}$ 分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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三、解答题

12. (2023·台州) 【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间t/min	0	10	20	30	40
水面高度h/cm（观察值）	30	29	28.1	27	25.8

任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．

【建立模型】

小组讨论发现：“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．

任务2 利用 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．

任务3 ⑴计算任务2得到的函数解析式的w值．

⑵请确定经过 $\text{[math]}$ 的一次函数解析式，使得w的值最小．

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．

任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．

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四、综合题

13. 如图①，是一座抛物线型拱桥，小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图②所示），抛物线的顶点在 $\text{[math]}$ 处，对称轴 $\text{[math]}$ 与水平线 $\text{[math]}$ 垂直， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，且点 $\text{[math]}$ 到对称轴的距离 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在抛物线上，点 $\text{[math]}$ 到对称轴的距离是1．
1. （1）求抛物线的表达式；
2. （2）如图②，为更加稳固，小星想在 $\text{[math]}$ 上找一点 $\text{[math]}$ ，加装拉杆 $\text{[math]}$ ，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 $\text{[math]}$ 的位置并求出坐标；
3. （3）为了造型更加美观，小星重新设计抛物线，其表达式为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 的值总大于等于9．求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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14. (2023·赤峰) 乒乓球被誉为中国国球.2023年的世界乒乓球标赛中，中国队包揽了五个项目的冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的．如图，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分．

乒乓球到球台的竖直高度记为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ），乒乓球运行的水平距离记为 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）．测得如下数据：

水平距离x/ $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
竖直高度y/ $\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（1）在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，描出表格中各组数值所对应的点 $\text{[math]}$ ，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象；
（2） ①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是 $\text{[math]}$ ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是 $\text{[math]}$ ；
②求满足条件的抛物线解析式；
（3）技术分析：如果只上下调整击球高度 $\text{[math]}$ ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出 $\text{[math]}$ 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长 $\text{[math]}$ 为274 $\text{[math]}$ ，球网高 $\text{[math]}$ 为15.25 $\text{[math]}$ ．现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球离度 $\text{[math]}$ 的值约为1.27 $\text{[math]}$ ．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度 $\text{[math]}$ 的值（乒乓球大小忽略不计）．

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15. (2023·黑龙江) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式．
2. （2）拋物线上是否存在一点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，若存在，请直接写出点 $\text{[math]}$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
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16. 小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网AB与y轴的水平距离 $\text{[math]}$ m， $\text{[math]}$ m，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足一次函数关系 $\text{[math]}$ ；若选择吊球，羽毛球的飞行高度y（m）与水平距离x（m）近似满足二次函数关系 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点P的坐标和a的值．
2. （2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
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17. (2023·常德) 如图，二次函数的图象与x轴交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求二次函数的表达式；
2. （2）求四边形 $\text{[math]}$ 的面积；
3. （3） P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若 $\text{[math]}$ ，求P点的坐标．
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18. (2023·包头) 随着科技的发展，扫地机器人已广泛应用于生活中。某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化.设该产品2022年第 $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ 为整数)个月每台的销售价格为 $\text{[math]}$ (单位：元)， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的函数关系如图所示(图中ABC为一折线).
1. （1）当1≤ $\text{[math]}$ ≤10时，求每台的销售价格 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的函数关系式；
2. （2）设该产品2022年第 $\text{[math]}$ 个月的销售数量为 $\text{[math]}$ (单位：万台)， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系可以用 $\text{[math]}$ 来描述.求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？
  (销售收入=每台的销售价格 $\text{[math]}$ 销售数量)
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19. (2023·深圳) 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB=3m，BC=4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．

请回答下列问题：
1. （1）如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点 $\text{[math]}$ ，求抛物线的解析式；
2. （2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求两个正方形装置的间距 $\text{[math]}$ 的长；
3. （3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长．
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20. (2024·临沂一模) 如图，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，对称轴为 $\text{[math]}$ 的抛物线经过 $\text{[math]}$ 两点，交 $\text{[math]}$ 轴负半轴于点 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 为抛物线上一动点，点 $\text{[math]}$ 的横坐标为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴的平行线交抛物线于另一点 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 轴的垂线 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 是平行四边形？
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，设直线 $\text{[math]}$ 交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，是否存在这样的 $\text{[math]}$ 值，使 $\text{[math]}$ ？若存在，求出此时 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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21. (2023·日照) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 内，抛物线 $\text{[math]}$ 交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．
1. （1）求点C，D的坐标；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线 $\text{[math]}$ 上方抛物线上一点，将直线 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 翻折，交x轴于点 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
3. （3）坐标平面内有两点 $\text{[math]}$ ，以线段 $\text{[math]}$ 为边向上作正方形 $\text{[math]}$ ．
  ①若 $\text{[math]}$ ，求正方形 $\text{[math]}$ 的边与抛物线的所有交点坐标；
  
  ②当正方形 $\text{[math]}$ 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 $\text{[math]}$ 时，求a的值．
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22. (2023九上·东港月考) 如图，抛物线过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的函数表达式；
2. （2）当t为何值时，矩形 $\text{[math]}$ 的周长有最大值？最大值是多少？
3. （3）保持 $\text{[math]}$ 时的矩形 $\text{[math]}$ 不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线 $\text{[math]}$ 平分矩形 $\text{[math]}$ 的面积时，求抛物线平移的距离．
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23. (2024九上·石家庄期末) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在此抛物线上，其横坐标分别为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求此抛物线的解析式．
2. （2）当点 $\text{[math]}$ 与此抛物线的顶点重合时，求 $\text{[math]}$ 的值．
3. （3）当 $\text{[math]}$ 的边与 $\text{[math]}$ 轴平行时，求点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的纵坐标的差．
4. （4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 之间部分（包括点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ ）的最高点与最低点的纵坐标的差为 $\text{[math]}$ ．当 $\text{[math]}$ 时，直接写出 $\text{[math]}$ 的值．
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24. (2023·包头) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于B，C两点（点B在点 $\text{[math]}$ 的左侧），交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求点D，E，C的坐标；
2. （2） F是线段OE上一点 $\text{[math]}$ ，连接AF，DF，CF，且 $\text{[math]}$ .
  ①求证： $\text{[math]}$ 是直角三角形；
  
  ② $\text{[math]}$ 的平分线FK交线段DC于点K，P是直线BC上方抛物线上一动点，当 $\text{[math]}$ 时，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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25. (2023·齐齐哈尔) 综合与探究
如图，抛物线 $\text{[math]}$ 上的点A，C坐标分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且 $\text{[math]}$ ，连接AC，CM.
1. （1）求点M的坐标及抛物线的解析式；
2. （2）点P是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP，CP，当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标；
3. （3）点D是线段BC（包含点B，C）上的动点，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线CM于点N，若以点Q，N，C为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似，请直接写出点Q的坐标；
4. （4）将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点 $\text{[math]}$ ，点C的对应点为点 $\text{[math]}$ ，在抛物线平移过程中，当 $\text{[math]}$ 的值最小时，新抛物线的顶点坐标为， $\text{[math]}$ 的最小值为.
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26. (2023九上·义乌月考) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 的图象经过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，且一次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点B.
1. （1）求抛物线和一次函数的解析式.
2. （2）点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧.这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.
3. （3）将抛物线 $\text{[math]}$ 的图象向右平移8个单位长度得到抛物线 $\text{[math]}$ ，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）.点P是抛物线 $\text{[math]}$ 上的一个动点且在直线 $\text{[math]}$ 下方.已知点P的横坐标为m.过点P作 $\text{[math]}$ 于点D.求m为何值时， $\text{[math]}$ 有最大值，最大值是多少？
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