2019-2023高考数学真题分类汇编6 函数的导数及其应...

更新时间：2023-09-01 浏览次数：35 类型：二轮复习

一、选择题

1. 曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·新高考Ⅱ卷) 已知函数f(x)= $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 单调递增，则a的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2025·) 函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 的最小值、最大值分别为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022·全国甲卷) 当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 取得最大值 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 1

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6. (2023·北京卷) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递减数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 B . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递增数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递减数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立 D . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 为递增数列，且存在常数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 恒成立

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7. (2025·) 已知正四棱锥的侧棱长为 $\text{[math]}$ ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 则该正四棱锥体积的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . [18，27]

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二、多项选择题

8. (2023·新高考Ⅱ卷) 若f(x)=alnx+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ (a≠0)既有极大值也有极小值，则（）

A . bc>0 B . ab>0 C . $\text{[math]}$ D . ac<0

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9. (2022·新高考Ⅱ卷) 函数 $\text{[math]}$ 的图象以 $\text{[math]}$ 中心对称，则（）

A . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减 B . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有2个极值点 C . 直线 $\text{[math]}$ 是一条对称轴 D . 直线 $\text{[math]}$ 是一条切线

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10. (2025·) 已知函数 $\text{[math]}$ 则（）

A . f(x)有两个极值点 B . f(x)有三个零点 C . 点(0，1)是曲线 $\text{[math]}$ 的对称中心 D . 直线 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 的切线

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三、填空题

11. (2023·上海卷) 公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为 $\text{[math]}$ ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为 $\text{[math]}$ ，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 $\text{[math]}$ ；

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12. (2022·新高考Ⅱ卷) 写出曲线 $\text{[math]}$ 过坐标原点的切线方程：，．

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13. (2025·) 已知 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别是函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ）的极小值点和极大值点．若 $\text{[math]}$ ，则a的取值范围是．

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14. (2025·) 设 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则a的取值范围是.

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四、解答题

15. (2022·全国甲卷) 已知函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线也是曲线 $\text{[math]}$ 的切线．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求a：
2. （2）求a的取值范围．
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16. (2023·北京卷) 设函数 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
3. （3）求 $\text{[math]}$ 的极值点个数．
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17. (2023·全国甲卷) 已知 $\text{[math]}$
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恒成立，求a的取值范围．
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18. (2025·) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. (2023·天津卷) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处切线的斜率；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
3. （3）证明： $\text{[math]}$ ．
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20. (2023·全国乙卷) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）是否存在a，b，使得曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
3. （3）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 存在极值，求a的取值范围.
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21. (2023高三上·长安月考) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程.
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递增，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. (2023·上海卷) 已知 $\text{[math]}$ ，取点 $\text{[math]}$ 过其曲线 $\text{[math]}$ 作切线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，取点 $\text{[math]}$ 过其曲线 $\text{[math]}$ 作切线交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 则继续，若 $\text{[math]}$ 则停止，以此类推得到数列 $\text{[math]}$ .
1. （1）若正整数 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若正整数 $\text{[math]}$ ，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 大小；
3. （3）若正整数 $\text{[math]}$ ，是否存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ 依次成等差数列?若存在，求出 $\text{[math]}$ 的所有取值，若不存在，请说明理由.
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23. (2023·新高考Ⅱ卷)
1. （1）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$
2. （2）已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的极大值点，求a的取值范围.
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24. (2022·天津市) 已知 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 有公共点，
  （i）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
  （ii）求证： $\text{[math]}$ ．
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25. (2022·浙江) 设函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；

（Ⅱ）已知 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 上不同的三点 $\text{[math]}$ 处的切线都经过点 $\text{[math]}$ ．证明：

（ⅰ）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

（ⅱ）若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

（注： $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）

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26. (2025·) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求a的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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27. (2025·) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 恰有一个零点，求a的取值范围．
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28. (2025·) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求a的取值范围；
2. （2）证明：若 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
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29. (2022·全国乙卷) 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 各恰有一个零点，求a的取值范围．
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30. (2022·北京) 已知函数 $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线方程；

（Ⅱ）设 $\text{[math]}$ ，讨论函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；

（III）证明：对任意的 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ．

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