【培优卷】2.5二次函数与一元二次方程—2023-2024学...

更新时间：2023-09-17 浏览次数：74 类型：同步测试

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的一个交点为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

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2. (2023·郧西模拟) 如果二次函数y＝ax²＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²＋bx＋c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜ n）是关于x的方程1-（x-a）(x-b)=0的两根，且a＜ b，则a、b、m、n的大小关系是（）

A . a ＜ m＜ b＜ n B . a＜ m＜ n＜ b C . m ＜ a＜ b＜ n D . m＜ a＜ n＜ b

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3. (2022九下·杭州期中) 已知二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与一次函数y=mx+n（m≠0）的图象交于（x₁ ， y₁）和（x₂ ， y₂）两点，（）

A . 若a<0，m<0，则x₁+x₂>2h B . 若a>0，m<0，则x₁+x₂>2h C . 若x₁+x₂>2h，则a>0，m>0 D . 若x₁+x₂<2h，则a>0，m<0

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4. (2021九下·福州开学考) 方程 $\text{[math]}$ （k是实数）有两个实根 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么k的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 无解

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5. (2022·建华模拟) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，则下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤若双曲线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，则以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为根的一元二次方程是 $\text{[math]}$ ．其中正确结论的个数为（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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6. (2021·河南模拟) 抛物线 $\text{[math]}$ （a，b，c为常数， $\text{[math]}$ ）经过 $\text{[math]}$ 两点，下列四个结论：
①一元二次方程 $\text{[math]}$ 的根为 $\text{[math]}$ ；②若点 $\text{[math]}$ 在该抛物线上，则 $\text{[math]}$ ；③对于任意实数t，总有 $\text{[math]}$ ；④对于a的每一个确定值，若一元二次方程 $\text{[math]}$ （p为常数， $\text{[math]}$ ）的根为整数，则p的值只有两个.其中正确的结论是（）

A . ①② B . ①②③ C . ①③ D . ①③④

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7. (2017·荆州) 规定：如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．现有下列结论：
①方程x²+2x﹣8=0是倍根方程；

②若关于x的方程x²+ax+2=0是倍根方程，则a=±3；

③若关于x的方程ax²﹣6ax+c=0（a≠0）是倍根方程，则抛物线y=ax²﹣6ax+c与x轴的公共点的坐标是（2，0）和（4，0）；

④若点（m，n）在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，则关于x的方程mx²+5x+n=0是倍根方程．

上述结论中正确的有（）

A . ①② B . ③④ C . ②③ D . ②④

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8. 如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC，则下列结论：
①abc＞0；②9a+3b+c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax²+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣ $\text{[math]}$
其中正确的结论个数有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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9. (2022九上·东阳月考) 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝-1，与x轴的一个交点B的坐标为（1，0）其图象如图所示，下列结论：①abc＜0； ②2a-b＝0； ③一元二次方程ax²+bx+c＝0的两个根是-3和1；④当y＞0时，-3＜x＜1；⑤当x＞0时，y随x的增大而增大；⑥若点E（-4，y₁），F（-2，y₂），M（3，y₃）是函数图象上的三点，则y₁＞y₂＞y₃ ，其中正确的有（）个

A . 5 B . 4 C . 3 D . 2

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10. (2023·莱阳模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，图象过点 $\text{[math]}$ ，对称轴为直线 $\text{[math]}$ ，下列结论：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④若点 $\text{[math]}$ 在该函数图象上，则 $\text{[math]}$ ；⑤若方程 $\text{[math]}$ 的两根为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. (2021九上·铁东期中) 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣1，0），（0，4），（t，4）三点，当t≥3时，一元二次方程ax²+bx+c＝n一定有实数根，则n的取值范围是．

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12. (2020九上·海门月考) 若关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 的两个不等实数根都在-1和1之间（不包括-1,1），则a的取值范围是.

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13. (2022九下·东阳期中) 已知，二次函数 $\text{[math]}$ ，规定 $\text{[math]}$ ，若使 $\text{[math]}$ 的正数x有且只有三个，则a的取值范围是.

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14. (2023·黄冈模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ （a，b，c是常数）开口向下，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ．下列四个结论：
① $\text{[math]}$ ；②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

③若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ；

④当 $\text{[math]}$ 时，关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 必有两个不相等的实数根．其中正确的是（填写序号）．

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15. (2022九上·北仑期中) 对于实数a，b，定义运算“*”： $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ ，关于x的方程 $\text{[math]}$ 恰好有三个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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三、解答题（共7题，共55分）

16. (2023·云南) 数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．
同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．

在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数 $\text{[math]}$ （实数 $\text{[math]}$ 为常数）的图象为图象 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：无论 $\text{[math]}$ 取什么实数，图象 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴总有公共点；
2. （2）是否存在整数 $\text{[math]}$ ，使图象 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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17. (2023·鲁甸模拟) 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的顶点坐标为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ 是拋物线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交点的横坐标．
1. （1）求抛物线的解析式．
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. (2023九下·长沙月考) 我们把纵坐标是横坐标两倍的点叫双语点，如点 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ .
1. （1）函数 $\text{[math]}$ 的双语点是；
2. （2）函数 $\text{[math]}$ （k为常数，目 $\text{[math]}$ ）上是否存在双语点？若存在，求出双语点的坐标，若不存在，请说明理由；
3. （3）函数 $\text{[math]}$ 的图象上只有唯一一个双语点，且当 $\text{[math]}$ 时，m的最小值为k，求实数k的值.
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19. (2023·株洲) 已知二次函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，且该二次函数的图象过点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）如图所示，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，该二次函数的图象与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，点D在 $\text{[math]}$ 上且在第二象限内，点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 轴正半轴上，连接 $\text{[math]}$ ，且线段 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴正半轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  
  ①求证： $\text{[math]}$ ．
  ②当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ 的半径长为线段 $\text{[math]}$ 的长度的 $\text{[math]}$ 倍，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. (2019·江陵模拟) 已知关于x的一元二次方程ax²+x+2=0.
1. （1）求证：当a＜0时，方程ax²+x+2=0一定有两个不等的实数根；
2. （2）若代数式﹣x²+x+2的值为正整数，且x为整数时，求x的值；
3. （3）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）；若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小.
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21. (2020九上·江津月考) 借鉴已有研究函数的经验，探索函数 $\text{[math]}$ 的图象与性质，研究过程如下，请补充完整.
1. （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
  
  其中： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
2. （2）根据列表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
3. （3）观察函数图象：
  ①写出函数的一条性质
  
  ②当方程 $\text{[math]}$ 有且仅有两个不相等的实数根，根据函数图象直接写出b的取值范围..
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22. (2022·抚州模拟) 我们约定[a， $\text{[math]}$ b，c]为二次函数 $\text{[math]}$ 的“相关数”．
【特例感知】
“相关数”为[1，4，3]的二次函数的解析式为 $\text{[math]}$ ，
“相关数”为[2，5，3]的二次函数的解析式为 $\text{[math]}$ ；
“相关数”为[3，6，3]的二次函数的解析式为 $\text{[math]}$ ；
1. （1）下列结论正确的是（填序号）．
  ①抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 都经过点 $\text{[math]}$ ；
  ②抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 都有两个交点；
  ③抛物线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 有两个交点．
2. （2）【形成概念】
  把满足“相关数”为[n，n+3，3]（n为正整数）的抛物线 $\text{[math]}$ 称为“一簇抛物线”，分别记为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ ．抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  【探究问题】
  ①“—簇抛物线” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， …， $\text{[math]}$ 都经过两个定点，这两个定点的坐标分别为．
  ②拋物线 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ，是否存在正整数n，使 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 是直角三角形？若存在，请求出n的值；若不存在，请说明理由．
  ③当 $\text{[math]}$ 时，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴的左交点 $\text{[math]}$ ，与直线 $\text{[math]}$ 的一个交点为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 不在y轴上．判断 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是否相等，并说明理由．
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