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备考2024年高考数学优生冲刺专题特训：复数

更新时间：2024-04-25 浏览次数：5 类型：三轮冲刺

一、解答题

1. (2021高二下·启东月考) 设复数z的实部为正数，满足 $\text{[math]}$ ，且复数 $\text{[math]}$ 在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.
1. （1）求复数z；
2. （2）若有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，对任意 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ 成立，试求实数a的取值范围.
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2. (2019高二下·徐汇月考) 已知方程 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位，且 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两个根，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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3. (2019高二下·徐汇月考) 已知复数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为虚数单位，对于任意复数 $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）我们把上述关系式看作复平面上表示复数 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 和表示复数 $\text{[math]}$ 的点 $\text{[math]}$ 之间的一个变换，问是否存在一条直线 $\text{[math]}$ ，若点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上，则点 $\text{[math]}$ 仍然在直线 $\text{[math]}$ 上？如果存在，求出直线 $\text{[math]}$ 的方程，否则，说明理由．
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4. (2018高二下·上海月考) 复数 $\text{[math]}$ 所对应的点在点 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 为端点的线段上运动，复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求：
1. （1）复数 $\text{[math]}$ 模的取值范围；
2. （2）复数 $\text{[math]}$ 对应的点的轨迹方程.
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5. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足: $\text{[math]}$ 求 $\text{[math]}$ 的值.

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6. 设f(z)＝z－2i，z₁＝3＋4i，z₂＝－2－i.
求：
1. （1） f(z₁－z₂)的值；
2. （2） f(z₁＋z₂)的值．
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7. 设复平面上点Z₁ ， Z₂ ， …，Z_n ， …分别对应复数z₁ ， z₂ ， …，z_n ， …；
1. （1）设z=r（cosα+isinα），（r＞0，α∈R），用数学归纳法证明：zⁿ=rⁿ（cosnα+isinnα），n∈Z⁺
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ （cosα+isinα）（α为实常数），求出数列{z_n}的通项公式；
3. （3）在（2）的条件下，求 $\text{[math]}$ |+…．
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8. (2015高二下·咸阳期中) 已知z=1+i，a，b为实数．
1. （1）若ω=z²+3 $\text{[math]}$ ﹣4，求|ω|；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求a，b的值．
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9. 设复数z满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求z的值和|z－ω|的取值范围．

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10. 在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为原点）．已知点 $\text{[math]}$ 对应的复数 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别对应的复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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11. 已知复数z=lg（m²﹣2m﹣2）+（m²+3m+2）i，根据以下条件分别求实数m的值或范围．
1. （1） z是纯虚数；
2. （2） z对应的点在复平面的第二象限．
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12. 把复数 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 对应的向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别按逆时针方向旋转 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 后，与向量 $\text{[math]}$ 重合且模相等，已知 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 的代数式和它的辐角主值．

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13. (2023高二上·临安开学考) 设复数 $\text{[math]}$ ， i为虚数单位，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求复数z；
2. （2）复数z是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求实数p，q的值．
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14. (2023高一下·沈阳期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ ．
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15. (2023高一下·静安期末) 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .现在复数系中定义一个新运算 $\text{[math]}$ ，规定： $\text{[math]}$ .
1. （1）已知 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）现给出如下有关复数新运算 $\text{[math]}$ 性质的两个命题：
  ① $\text{[math]}$ ；
  
  ②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .
  
  请判定以上两个命题是真命题还是假命题，并说明理由.
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16. (2023高三上·深圳月考) 已知复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中i为虚数单位，且满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为纯虚数.
1. （1）若复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在复平面内对应点在第一象限，求复数z；
2. （2）求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）若在（1）中条件下的复数z是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的一个根，求实数m ， n的值.
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17. (2023高一下·闵行期末) 欧拉公式 $\text{[math]}$ 将自然对数的底数 $\text{[math]}$ ，虚数单位 $\text{[math]}$ ，三角函数 $\text{[math]}$ 联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”，已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）若复数 $\text{[math]}$ 是纯虚数，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. (2023高一下·渭源期末) 已知复数 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为纯虚数.
1. （1）求复数 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求复数 $\text{[math]}$ 及其模 $\text{[math]}$ .
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